Álgebra Linear

Sistemas de Equações Lineares e Interpretação Geométrica

Prof. Dr. Raphael Teixeira

Universidade Federal do Pará

Sumário

• 1.1 Equações e sistemas lineares — forma matricial \(Ax=b\)
• 1.2 Classificação: SPD, SPI, SI
• 1.3 Interpretação geométrica em \(\mathbb{R}^2\)
• 1.4 Interpretação geométrica em \(\mathbb{R}^3\)
• 1.5 Sistemas equivalentes — motivação para a eliminação de Gauss

1.1 — Equações e sistemas lineares

Equação linear

Definição

Uma equação linear nas incógnitas \(x_1,x_2,\dots,x_n\) tem a forma \[a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=b,\] em que \(a_1,\dots,a_n\) (coeficientes) e \(b\) são números reais fixos.

• Não há produtos entre incógnitas, nem potências ou funções transcendentais delas.
• Exemplo: \(2x+3y=5\) é linear; \(2x^2+3y=5\) e \(2xy=5\) não são.

Sistema de equações lineares

Definição

Um sistema linear com \(m\) equações e \(n\) incógnitas é um conjunto \[ \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n = b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n = b_2\\ \qquad\vdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n = b_m \end{cases} \]

Uma solução é uma \(n\)-upla \((x_1,\dots,x_n)\) que satisfaz todas as equações simultaneamente.

Forma matricial \(Ax=b\)

Todo sistema linear se escreve de modo compacto como \(Ax=b\):

\[ \underbrace{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&&&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{bmatrix}}_{A\ (m\times n)} \underbrace{\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}}_{x\ (n\times 1)} = \underbrace{\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_m\end{bmatrix}}_{b\ (m\times 1)} \]

Exemplo: o sistema \(\begin{cases}2x+3y=5\\4x-y=11\end{cases}\) tem forma matricial \[\begin{bmatrix}2&3\\4&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\\11\end{bmatrix}.\]

1.2 — Classificação de sistemas lineares

SPD, SPI, SI

Definição

Quanto ao número de soluções, todo sistema linear é de exatamente um dos três tipos:

• SPD — Sistema Possível (compatível) e Determinado: solução única.
• SPI — Sistema Possível e Indeterminado: infinitas soluções.
• SI — Sistema Impossível (incompatível): nenhuma solução.

Resolver um sistema é, portanto, determinar em qual dessas três categorias ele se enquadra e, quando possível, descrever explicitamente o conjunto-solução.

Exemplo — sistema SPD (resolução por substituição)

\[\begin{cases}x+y=5\\2x-y=1\end{cases}\]

Da primeira equação: \(y=5-x\). Substituindo na segunda: \[2x-(5-x)=1 \implies 3x-5=1 \implies x=2.\]

Logo \(y=5-2=3\). Verificação: \(2+3=5\) ✓, \(\ 2(2)-3=1\) ✓.

\[\boxed{(x,y)=(2,3)} \quad \text{— solução única (SPD).}\]

Exemplo — sistema SPI

\[\begin{cases}x+y=2\\2x+2y=4\end{cases}\]

A segunda equação é exatamente a primeira multiplicada por \(2\) — a mesma reta. Da primeira equação, \(y=2-x\): para cada valor de \(x\) existe um \(y\) correspondente.

\[\boxed{(x,y)=(t,\,2-t),\quad t\in\mathbb{R}} \quad \text{— infinitas soluções (SPI).}\]

\(t\) é chamado parâmetro (ou variável livre).

Exemplo — sistema SI

\[\begin{cases}x+2y=3\\2x+4y=9\end{cases}\]

Multiplicando a primeira equação por \(2\): \(2x+4y=6\). Mas a segunda equação exige \(2x+4y=9\) — contradição (\(6\neq 9\)).

\[\boxed{\text{Conjunto-solução} = \varnothing} \quad \text{— nenhuma solução (SI).}\]

Geometricamente: as duas equações representam retas paralelas e distintas.

1.3 — Interpretação geométrica em \(\mathbb{R}^2\)

Duas retas no plano

Cada equação linear em duas incógnitas representa uma reta em \(\mathbb{R}^2\). A solução do sistema é a interseção dessas retas.

Correspondência sistema \(\leftrightarrow\) retas

Tipo	Posição das retas	Nº de soluções
SPD	concorrentes (um ponto comum)	\(1\)
SI	paralelas e distintas	\(0\)
SPI	coincidentes (a mesma reta)	\(\infty\)

• Os três exemplos numéricos anteriores ilustram exatamente esses três casos.
• Este raciocínio geométrico vale só para \(n=2\) incógnitas; para \(n\ge 3\) precisamos de álgebra (eliminação) para “enxergar” a solução.

1.4 — Interpretação geométrica em \(\mathbb{R}^3\)

Três planos no espaço

Uma equação linear em três incógnitas, \(a_1x+a_2y+a_3z=b\), representa um plano em \(\mathbb{R}^3\). Um sistema \(3\times 3\) corresponde à interseção de três planos.

• SPD: os três planos se encontram em um único ponto.
• SPI: os planos se encontram ao longo de uma reta comum (ou coincidem em um plano comum) — infinitas soluções.
• SI: não há ponto comum aos três — por exemplo, dois planos paralelos, ou três planos que se cruzam dois a dois em retas paralelas distintas (formando um “prisma”), sem ponto em comum.

Observação

Diferentemente do caso \(2\times2\), em \(\mathbb{R}^3\) a visualização geométrica direta é mais difícil — por isso, a partir de três incógnitas, o método algébrico (eliminação de Gauss, próxima aula) é a ferramenta padrão para classificar e resolver o sistema.

1.5 — Sistemas equivalentes e operações elementares

Sistemas equivalentes

Definição

Dois sistemas lineares são equivalentes quando possuem exatamente o mesmo conjunto-solução.

Ideia central

Certas operações transformam um sistema em outro equivalente (mesmas soluções), mas com aparência mais simples — essa é a base do método de eliminação de Gauss (Aula 3):

1. Trocar a ordem de duas equações.
2. Multiplicar uma equação por uma constante não nula.
3. Somar a uma equação um múltiplo de outra.

Essas três operações não criam nem destroem soluções — apenas reescrevem o sistema de forma mais conveniente para “isolar” as incógnitas.

Exemplo — sistema \(3\times3\) resolvido

\[\begin{cases}x+y+z=6\\2x-y+z=3\\x+2y-z=2\end{cases}\]

Da 1ª equação: \(x=6-y-z\). Substituindo na 2ª e na 3ª:

\[2(6-y-z)-y+z=3 \ \Rightarrow\ -3y-z=-9 \ \Rightarrow\ 3y+z=9\] \[(6-y-z)+2y-z=2 \ \Rightarrow\ y-2z=-4\]

Exemplo — sistema \(3\times3\) resolvido (continuação)

Do par restante \(\begin{cases}3y+z=9\\y-2z=-4\end{cases}\): isolando \(z=9-3y\) e substituindo,

\[y-2(9-3y)=-4 \ \Rightarrow\ 7y=14 \ \Rightarrow\ y=2.\]

Logo \(z=9-3(2)=3\) e \(x=6-2-3=1\).

Verificação: \(1+2+3=6\) ✓, \(\ 2(1)-2+3=3\) ✓, \(\ 1+2(2)-3=2\) ✓.

\[\boxed{(x,y,z)=(1,2,3)} \quad \text{— SPD.}\]

Resumo da aula

• 1.1 — Equação e sistema linear; forma matricial \(Ax=b\).
• 1.2 — Classificação SPD (única solução) / SPI (infinitas) / SI (nenhuma).
• 1.3 — Em \(\mathbb{R}^2\): retas concorrentes, paralelas ou coincidentes.
• 1.4 — Em \(\mathbb{R}^3\): interseção de três planos; visualização mais difícil.
• 1.5 — Operações elementares geram sistemas equivalentes — base da eliminação de Gauss (próxima aula).

Referências

• Anton, H. & Rorres, C. Álgebra Linear com Aplicações, 10ª ed., Bookman — Cap. 1.
• Lay, D. C. Álgebra Linear e suas Aplicações, 4ª ed., Pearson — Cap. 1.
• Strang, G. Introdução à Álgebra Linear, 4ª ed., LTC — Cap. 1.