Matrizes e Operações
Universidade Federal do Pará
Definição
Uma matriz \(A\) de tamanho \(m\times n\) é uma tabela retangular de números reais dispostos em \(m\) linhas e \(n\) colunas: \[ A = \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \end{bmatrix} = \left[a_{ij}\right]_{m\times n} \]
| Tipo | Condição |
|---|---|
| Matriz linha | \(m=1\) (uma única linha) |
| Matriz coluna | \(n=1\) (uma única coluna) |
| Matriz quadrada | \(m=n\) |
| Matriz nula \((O)\) | \(a_{ij}=0\) para todo \(i,j\) |
| Matriz identidade \((I_n)\) | quadrada, \(a_{ii}=1\) e \(a_{ij}=0\) se \(i\neq j\) |
| Matriz diagonal | quadrada, \(a_{ij}=0\) se \(i\neq j\) |
| Triangular superior | quadrada, \(a_{ij}=0\) se \(i>j\) |
| Triangular inferior | quadrada, \(a_{ij}=0\) se \(i<j\) |
| Matriz simétrica | quadrada, \(A=A^T\) |
Exemplo: \(I_3=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\), \(\ \begin{bmatrix}2&0&0\\0&-1&0\\0&0&5\end{bmatrix}\) é diagonal, \(\ \begin{bmatrix}1&2&3\\0&4&5\\0&0&6\end{bmatrix}\) é triangular superior.
Definição
\(A=[a_{ij}]\) e \(B=[b_{ij}]\), ambas \(m\times n\), são iguais (\(A=B\)) quando \[a_{ij}=b_{ij} \quad \text{para todo } i=1,\dots,m,\ j=1,\dots,n.\]
Definição
Para \(A=[a_{ij}]\), \(B=[b_{ij}]\) de mesmo tamanho \(m\times n\) e escalar \(c\in\mathbb{R}\): \[ (A+B)_{ij} = a_{ij}+b_{ij}, \qquad (cA)_{ij} = c\,a_{ij}. \]
Propriedades
Para \(A,B,C\in M_{m,n}\) e escalares \(c,d\):
\[A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}, \qquad B=\begin{bmatrix}5&-1\\0&2\end{bmatrix}\]
\[A+B=\begin{bmatrix}6&1\\3&6\end{bmatrix}, \qquad 2A=\begin{bmatrix}2&4\\6&8\end{bmatrix}\]
\[3A-B = \begin{bmatrix}3-5&6-(-1)\\9-0&12-2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-2&7\\9&10\end{bmatrix}\]
Definição
Se \(A\) é \(m\times n\) e \(B\) é \(n\times p\) (nº de colunas de \(A\) = nº de linhas de \(B\)), o produto \(AB\) é a matriz \(m\times p\) cuja entrada \((i,j)\) é \[ (AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj} = a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{in}b_{nj}. \]
\[A=\begin{bmatrix}1&2&3\\0&-1&4\end{bmatrix}_{2\times3}, \qquad B=\begin{bmatrix}2&0\\1&3\\-1&2\end{bmatrix}_{3\times2}\]
\[AB=\begin{bmatrix}1(2)+2(1)+3(-1) & 1(0)+2(3)+3(2)\\[2pt] 0(2)+(-1)(1)+4(-1) & 0(0)+(-1)(3)+4(2)\end{bmatrix}\]
\[AB=\begin{bmatrix}1&12\\-5&5\end{bmatrix}_{2\times2}\]
Propriedades
Sempre que as multiplicações envolvidas estiverem definidas:
Atenção — a multiplicação NÃO é comutativa
Em geral \(AB\neq BA\). Contraexemplo: \(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\), \(B=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\): \[AB=\begin{bmatrix}2&1\\4&3\end{bmatrix} \qquad\text{mas}\qquad BA=\begin{bmatrix}3&4\\1&2\end{bmatrix}\] Logo \(AB\neq BA\) — a ordem dos fatores importa!
Definição
A transposta de \(A=[a_{ij}]_{m\times n}\) é \(A^T=[a_{ji}]_{n\times m}\): trocam-se linhas por colunas.
Exemplo: \(A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix} \ \Rightarrow\ A^T=\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}\)
Propriedades
Definição
\(A\) (quadrada) é simétrica quando \(A=A^T\), isto é, \(a_{ij}=a_{ji}\) para todo \(i,j\).
Exemplo: \[A=\begin{bmatrix}2&-1&3\\-1&0&5\\3&5&7\end{bmatrix} \quad \Rightarrow \quad A^T=\begin{bmatrix}2&-1&3\\-1&0&5\\3&5&7\end{bmatrix}=A\]
Definição
Para \(A\) quadrada e \(k\in\mathbb{N}\): \(A^0=I\), \(\ A^k=\underbrace{A\cdot A\cdots A}_{k \text{ vezes}}\).
A matriz identidade \(I\) funciona como elemento neutro: \(IA=AI=A\) para qualquer \(A\) quadrada de mesmo tamanho.
Exemplo: para \(A=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}\):
\[A^2=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix}\]
\[A^3=A^2A=\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&3\\0&1\end{bmatrix}\]
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