Álgebra Linear

Eliminação de Gauss e Forma Escalonada

Prof. Dr. Raphael Teixeira

Universidade Federal do Pará

Sumário

3.1 Operações elementares e matriz aumentada
3.2 Forma escalonada (row echelon form) e pivôs
3.3 Algoritmo de eliminação de Gauss — exemplo completo
3.4 Retro-substituição, casos SPI e SI no escalonamento

3.1 — Operações elementares e matriz aumentada

Operações elementares sobre linhas

Teorema — operações que preservam o conjunto-solução

Aplicadas às equações (linhas) de um sistema linear, as três operações abaixo produzem um sistema equivalente (mesmas soluções):

Trocar duas linhas: \(L_i \leftrightarrow L_j\)
Multiplicar uma linha por escalar não nulo: \(L_i \to cL_i,\ c\neq 0\)
Somar a uma linha um múltiplo de outra: \(L_i \to L_i + cL_j\)

Essas operações são a versão precisa das manipulações informais vistas na Aula 1.
A ideia da eliminação de Gauss: aplicá-las sistematicamente para zerar coeficientes abaixo da diagonal.

Matriz aumentada

Definição

Para o sistema \(Ax=b\), a matriz aumentada é \[ [A\mid b] = \left[\begin{array}{cccc|c} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&b_1\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&b_2\\ \vdots&&&\vdots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}&b_m \end{array}\right] \]

Trabalhar com \([A\mid b]\) evita reescrever as incógnitas a cada passo.
As operações elementares sobre as linhas desta matriz correspondem exatamente às operações sobre as equações do sistema.

3.2 — Forma escalonada

Forma escalonada (row echelon form)

Definição

Uma matriz está na forma escalonada quando:

Todas as linhas nulas (se houver) estão nas últimas posições.
Em cada linha não nula, o primeiro elemento não nulo — o pivô — está estritamente à direita do pivô da linha anterior.

Exemplo de forma escalonada (\(\ast\) = valor qualquer, pivôs em destaque): \[ \begin{bmatrix} \boxed{2}&\ast&\ast&\ast\\ 0&\boxed{-1}&\ast&\ast\\ 0&0&0&\boxed{5}\\ 0&0&0&0 \end{bmatrix} \]

Os pivôs “escalonam” — descem e vão para a direita a cada linha.
Esta é a estrutura-alvo da eliminação de Gauss.

3.3 — Eliminação de Gauss: exemplo completo

O sistema (o mesmo da Aula 1)

\[\begin{cases}x+y+z=6\\2x-y+z=3\\x+2y-z=2\end{cases} \qquad\Longrightarrow\qquad [A\mid b]=\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\2&-1&1&3\\1&2&-1&2\end{array}\right]\]

Vamos resolvê-lo formalmente por eliminação de Gauss, e comparar com a solução obtida por substituição na Aula 1.

Passo 1 — eliminar \(x\) das linhas 2 e 3

Usando a linha 1 como pivô (elemento \(a_{11}=1\)):

\[L_2 \to L_2 - 2L_1, \qquad L_3 \to L_3 - L_1\]

\[ \left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\2&-1&1&3\\1&2&-1&2\end{array}\right] \ \longrightarrow\ \left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\0&-3&-1&-9\\0&1&-2&-4\end{array}\right] \]

A coluna de \(x\) já está zerada abaixo do pivô.

Passo 2 — trocar linhas e eliminar \(y\)

Para evitar frações, trocamos as linhas 2 e 3 (\(L_2\leftrightarrow L_3\)) antes de eliminar:

\[ \left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\0&-3&-1&-9\\0&1&-2&-4\end{array}\right] \ \xrightarrow{L_2\leftrightarrow L_3}\ \left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\0&1&-2&-4\\0&-3&-1&-9\end{array}\right] \]

Agora eliminamos \(y\) da linha 3 usando o pivô \(1\) da linha 2: \(L_3 \to L_3+3L_2\)

\[ \left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\0&1&-2&-4\\0&-3&-1&-9\end{array}\right] \ \longrightarrow\ \left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\0&1&-2&-4\\0&0&-7&-21\end{array}\right] \]

Forma escalonada obtida

\[ \left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\0&1&-2&-4\\0&0&-7&-21\end{array}\right] \qquad\Longleftrightarrow\qquad \begin{cases}x+y+z=6\\y-2z=-4\\-7z=-21\end{cases} \]

Três pivôs (colunas \(x\), \(y\), \(z\)) \(\Rightarrow\) sistema SPD, um por linha — a estrutura “em escada” está completa.
Resta obter os valores das incógnitas: retro-substituição.

Retro-substituição (back-substitution)

Ideia

Uma vez na forma escalonada, resolve-se a última equação primeiro e substitui-se “para cima”, equação por equação.

Da última linha: \(-7z=-21 \ \Rightarrow\ z=3\)

Substituindo na 2ª linha: \(y-2(3)=-4 \ \Rightarrow\ y=2\)

Substituindo na 1ª linha: \(x+2+3=6 \ \Rightarrow\ x=1\)

\[\boxed{(x,y,z)=(1,2,3)}\]

Exatamente a mesma solução obtida por substituição na Aula 1 — agora por um algoritmo sistemático, aplicável a qualquer tamanho de sistema.

3.4 — Casos especiais no escalonamento

Exemplo — sistema SPI (variável livre)

\[\begin{cases}x+2y-z=1\\2x+4y-2z=2\\x+y+z=4\end{cases} \ \longrightarrow\ \left[\begin{array}{ccc|c}1&2&-1&1\\0&0&0&0\\0&-1&2&3\end{array}\right] \ \xrightarrow{L_2\leftrightarrow L_3}\ \left[\begin{array}{ccc|c}1&2&-1&1\\0&-1&2&3\\0&0&0&0\end{array}\right]\]

Apenas 2 pivôs para 3 incógnitas \(\Rightarrow\) \(z=t\) é variável livre. Da 2ª linha: \(y=2t-3\). Da 1ª: \(x=1-2y+z=7-3t\).

\[\boxed{(x,y,z)=(7-3t,\ 2t-3,\ t), \quad t\in\mathbb{R}} \quad\text{— SPI.}\]

Exemplo — sistema SI (linha \(0=c\), \(c\neq0\))

\[\begin{cases}x+y+z=2\\2x+2y+2z=5\\x-y+z=1\end{cases} \ \xrightarrow[L_3\to L_3-L_1]{L_2\to L_2-2L_1}\ \left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&2\\0&0&0&1\\0&-2&0&-1\end{array}\right]\]

A segunda linha significa \(0x+0y+0z=1\), isto é, \(\boxed{0=1}\) — absurdo.

\[\Longrightarrow \quad \text{Conjunto-solução} = \varnothing \quad\text{— SI.}\]

Não é preciso continuar o escalonamento: uma linha de zeros à esquerda com valor não nulo à direita encerra o processo com “sistema impossível”.

Resumo da aula

3.1 — Operações elementares (trocar, escalar, somar múltiplo) preservam o conjunto-solução; matriz aumentada \([A\mid b]\).
3.2 — Forma escalonada: pivôs descendo estritamente à direita a cada linha.
3.3 — Eliminação de Gauss zera sistematicamente abaixo dos pivôs; retro-substituição obtém a solução de trás para frente.
3.4 — Um pivô “faltando” (menos pivôs que incógnitas) \(\Rightarrow\) SPI (variável livre); uma linha \(0=c\), \(c\neq0\) \(\Rightarrow\) SI.

Referências

Anton, H. & Rorres, C. Álgebra Linear com Aplicações, 10ª ed., Bookman — Cap. 1.
Lay, D. C. Álgebra Linear e suas Aplicações, 4ª ed., Pearson — Cap. 1.
Strang, G. Introdução à Álgebra Linear, 4ª ed., LTC — Cap. 2.