Álgebra Linear

Gauss-Jordan, Sistemas Homogêneos e Posto

Prof. Dr. Raphael Teixeira

Universidade Federal do Pará

Sumário

  • 4.1 Forma escalonada reduzida (RREF)
  • 4.2 Algoritmo de Gauss-Jordan — exemplo completo
  • 4.3 Sistemas lineares homogêneos \(Ax=0\)
  • 4.4 Posto e nulidade de uma matriz

4.1 — Forma escalonada reduzida

Forma escalonada reduzida por linhas (RREF)

Definição

Uma matriz está na forma escalonada reduzida (reduced row echelon form) quando, além de estar na forma escalonada:

  1. Todo pivô é igual a \(1\).
  2. Cada pivô é a única entrada não nula em sua coluna (zeros acima e abaixo).

Exemplo: \[ \left[\begin{array}{ccc|c}1&0&0&1\\0&1&0&2\\0&0&1&3\end{array}\right] \]

  • Nesta forma, o sistema já está resolvido: cada linha lê-se diretamente como \(x_i = (\text{valor})\).
  • É o objetivo do método de Gauss-Jordan, uma extensão da eliminação de Gauss.

4.2 — Algoritmo de Gauss-Jordan

Retomando o exemplo da Aula 3

Partimos da forma escalonada já obtida para \(\begin{cases}x+y+z=6\\2x-y+z=3\\x+2y-z=2\end{cases}\):

\[ \left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\0&1&-2&-4\\0&0&-7&-21\end{array}\right] \]

Passo 1 — normalizar o último pivô: \(L_3 \to -\tfrac17 L_3\)

\[ \left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\0&1&-2&-4\\0&0&-7&-21\end{array}\right] \ \longrightarrow\ \left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\0&1&-2&-4\\0&0&1&3\end{array}\right] \]

Gauss-Jordan — zerando acima dos pivôs

Passo 2 — eliminar a coluna de \(z\) acima do pivô: \(L_2 \to L_2+2L_3\), \(\ L_1 \to L_1-L_3\)

\[ \left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\0&1&-2&-4\\0&0&1&3\end{array}\right] \ \longrightarrow\ \left[\begin{array}{ccc|c}1&1&0&3\\0&1&0&2\\0&0&1&3\end{array}\right] \]

Passo 3 — eliminar a coluna de \(y\) acima do pivô: \(L_1 \to L_1-L_2\)

\[ \left[\begin{array}{ccc|c}1&1&0&3\\0&1&0&2\\0&0&1&3\end{array}\right] \ \longrightarrow\ \left[\begin{array}{ccc|c}1&0&0&1\\0&1&0&2\\0&0&1&3\end{array}\right] \]

\[\boxed{(x,y,z)=(1,2,3)}\]

Mesmo resultado da retro-substituição (Aula 3) — mas aqui a solução aparece diretamente, sem substituições manuais.

4.3 — Sistemas lineares homogêneos

O sistema \(Ax=0\)

Definição

Um sistema linear é homogêneo quando todos os termos independentes são nulos: \(Ax=0\).

Observação fundamental

Todo sistema homogêneo é sempre possível: \(x=0\) (a solução trivial) satisfaz \(Ax=0\) para qualquer \(A\).

A pergunta relevante não é “existe solução?” (sempre existe), mas sim: existem soluções não triviais (\(x\neq0\))?

Quando existem soluções não triviais

Teorema

Seja \(A\) uma matriz \(m\times n\). O sistema homogêneo \(Ax=0\) possui solução não trivial se, e somente se, \[n > \operatorname{posto}(A).\] Nesse caso, existem infinitas soluções não triviais (há pelo menos uma variável livre).

  • Se \(\operatorname{posto}(A)=n\) (posto máximo, “posto completo em coluna”), a única solução é \(x=0\) — sistema homogêneo SPD trivial.
  • Se \(n>\operatorname{posto}(A)\), o sistema é SPI: há variáveis livres parametrizando um espaço de soluções.

4.4 — Posto e nulidade de uma matriz

Definições

Definição

O posto de \(A\), \(\operatorname{posto}(A)\), é o número de pivôs (linhas não nulas) na forma escalonada de \(A\).

A nulidade de \(A\) é o número de variáveis livres do sistema homogêneo \(Ax=0\): \[\text{nulidade}(A) = n - \operatorname{posto}(A),\] onde \(n\) é o número de colunas (incógnitas) de \(A\).

  • Posto e nulidade não dependem de qual sequência de operações elementares foi usada — são invariantes de \(A\).

Exemplo — calculando o posto de uma matriz \(3\times4\)

\[A=\begin{bmatrix}1&2&-1&3\\2&4&-1&8\\3&6&-2&11\end{bmatrix}\]

Eliminando: \(L_2\to L_2-2L_1\), \(\ L_3\to L_3-3L_1\):

\[\begin{bmatrix}1&2&-1&3\\0&0&1&2\\0&0&1&2\end{bmatrix} \ \xrightarrow{L_3\to L_3-L_2}\ \begin{bmatrix}1&2&-1&3\\0&0&1&2\\0&0&0&0\end{bmatrix}\]

Dois pivôs (colunas \(1\) e \(3\)) \(\Rightarrow\) \(\boxed{\operatorname{posto}(A)=2}\). Como \(n=4\): \(\ \text{nulidade}(A)=4-2=2\).

Exemplo — espaço-solução do sistema homogêneo \(Ax=0\)

Da forma escalonada: \(\begin{cases}x_1+2x_2-x_3+3x_4=0\\x_3+2x_4=0\end{cases}\)

Variáveis livres: \(x_2=s\), \(x_4=t\) (pois \(n-\operatorname{posto}=4-2=2\)). Da 2ª equação: \(x_3=-2t\). Da 1ª: \(x_1=-2x_2+x_3-3x_4=-2s-2t-3t=-2s-5t\).

\[ \boxed{(x_1,x_2,x_3,x_4) = s(-2,1,0,0)+t(-5,0,-2,1),\quad s,t\in\mathbb{R}} \]

  • Espaço-solução com 2 parâmetros — coerente com nulidade \(=2\): infinitas soluções não triviais, pois \(n=4>\operatorname{posto}(A)=2\).

Resumo da aula

  • 4.1 — RREF: pivôs iguais a \(1\), zeros acima e abaixo.
  • 4.2 — Gauss-Jordan continua a eliminação de Gauss até a RREF; solução aparece direta, sem retro-substituição manual.
  • 4.3 — \(Ax=0\) sempre tem a solução trivial; soluções não triviais existem sse \(n>\operatorname{posto}(A)\).
  • 4.4 — Posto = nº de pivôs; nulidade \(=n-\operatorname{posto}(A)\) = nº de parâmetros do espaço-solução homogêneo.

Referências

  • Anton, H. & Rorres, C. Álgebra Linear com Aplicações, 10ª ed., Bookman — Cap. 1.
  • Lay, D. C. Álgebra Linear e suas Aplicações, 4ª ed., Pearson — Cap. 1.
  • Strang, G. Introdução à Álgebra Linear, 4ª ed., LTC — Cap. 3.