Álgebra Linear

Matriz Inversa

Prof. Dr. Raphael Teixeira

Universidade Federal do Pará

Sumário

5.1 Definição de matriz inversa e unicidade
5.2 Matrizes elementares e o algoritmo de Gauss-Jordan \([A\mid I]\to[I\mid A^{-1}]\)
5.3 Propriedades da inversa
5.4 Resolvendo \(Ax=b\) via \(A^{-1}\); equivalências com invertibilidade

5.1 — Definição de matriz inversa

Matriz invertível

Definição

Uma matriz quadrada \(A\) (\(n\times n\)) é invertível (ou não singular) quando existe uma matriz \(A^{-1}\) (\(n\times n\)) tal que \[AA^{-1}=A^{-1}A=I_n.\] Se tal matriz não existir, \(A\) é dita singular.

Teorema — unicidade da inversa

Se \(A\) possui inversa, ela é única.

Prova rápida: se \(B\) e \(C\) satisfazem \(AB=BA=I\) e \(AC=CA=I\), então \(B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C\).

5.2 — Matrizes elementares e Gauss-Jordan

Matrizes elementares

Definição

Uma matriz elementar é obtida aplicando uma única operação elementar à matriz identidade \(I\).

Aplicar uma operação elementar a \(A\) equivale a multiplicar \(A\) à esquerda pela matriz elementar correspondente.
Toda matriz elementar é invertível, e sua inversa também é elementar (do mesmo “tipo” revertido).

Ideia do algoritmo

Se uma sequência de operações elementares leva \(A\) até \(I\), a mesma sequência, aplicada a \(I\), produz \(A^{-1}\): \[[A\mid I] \ \xrightarrow{\text{operações elementares}}\ [I\mid A^{-1}]\]

Exemplo — cálculo da inversa, passo 1

Para \(A=\begin{bmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{bmatrix}\), formamos \([A\mid I]\) e escalonamos:

\[ \left[\begin{array}{ccc|ccc}2&1&1&1&0&0\\1&2&1&0&1&0\\1&1&2&0&0&1\end{array}\right] \ \xrightarrow[L_3\to L_3-L_1]{L_1\leftrightarrow L_2,\ L_2\to L_2-2L_1}\ \left[\begin{array}{ccc|ccc}1&2&1&0&1&0\\0&-3&-1&1&-2&0\\0&-1&1&0&-1&1\end{array}\right] \]

\[ \xrightarrow[\ -R_2\to R_2\ ]{L_2\leftrightarrow L_3}\ \left[\begin{array}{ccc|ccc}1&2&1&0&1&0\\0&1&-1&0&1&-1\\0&-3&-1&1&-2&0\end{array}\right] \xrightarrow{L_3\to L_3+3L_2} \left[\begin{array}{ccc|ccc}1&2&1&0&1&0\\0&1&-1&0&1&-1\\0&0&-4&1&1&-3\end{array}\right] \]

Exemplo — cálculo da inversa, passo 2 (RREF final)

Normalizando \(L_3\to-\tfrac14L_3\) e eliminando acima dos pivôs (\(L_2\to L_2+L_3\), \(L_1\to L_1-L_3\), \(L_1\to L_1-2L_2\)):

\[ \left[\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&\ \tfrac34&-\tfrac14&-\tfrac14\\0&1&0&-\tfrac14&\ \tfrac34&-\tfrac14\\0&0&1&-\tfrac14&-\tfrac14&\ \tfrac34\end{array}\right] \]

\[ \boxed{A^{-1}=\frac14\begin{bmatrix}3&-1&-1\\-1&3&-1\\-1&-1&3\end{bmatrix}} \]

Verificação: \(AA^{-1}\): linha 1 de \(A\) é \((2,1,1)\); coluna 1 de \(\tfrac14\)-matriz é \(\tfrac14(3,-1,-1)\), produto \(=\tfrac14(6-1-1)=\tfrac14(4)=1\) ✓ (as demais entradas se conferem de modo análogo).

Exemplo — matriz não invertível

\[B=\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&6\\1&1&1\end{bmatrix}\]

\[ \left[\begin{array}{ccc|ccc}1&2&3&1&0&0\\2&4&6&0&1&0\\1&1&1&0&0&1\end{array}\right] \ \xrightarrow[L_3\to L_3-L_1]{L_2\to L_2-2L_1}\ \left[\begin{array}{ccc|ccc}1&2&3&1&0&0\\0&0&0&-2&1&0\\0&-1&-2&-1&0&1\end{array}\right] \]

Observação

A linha 2 do bloco esquerdo ficou totalmente nula — é impossível continuar até obter \(I\) à esquerda. Conclusão: \(B\) não é invertível. (De fato, linha 2 de \(B\) é o dobro da linha 1.)

5.3 — Propriedades da inversa

Propriedades algébricas

Propriedades

Para \(A,B\) invertíveis (de mesmo tamanho) e escalar \(c\neq0\):

\((A^{-1})^{-1}=A\)
\((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\) — atenção à ordem invertida!
\((A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\)
\((cA)^{-1}=\dfrac1c A^{-1}\)

Consequência da propriedade 2: o produto de matrizes invertíveis é invertível.
Essas propriedades espelham exatamente as propriedades análogas da transposta (Aula 2).

5.4 — Sistemas via inversa e equivalências

Resolvendo \(Ax=b\) com \(A\) invertível

Teorema

Se \(A\) (\(n\times n\)) é invertível, o sistema \(Ax=b\) tem solução única, dada por \[x=A^{-1}b.\]

Exemplo: \(\begin{cases}2x+y=5\\x+y=3\end{cases}\), ou seja \(A=\begin{bmatrix}2&1\\1&1\end{bmatrix}\), \(b=\begin{bmatrix}5\\3\end{bmatrix}\).

Como \(\det A = 1\): \(\ A^{-1}=\begin{bmatrix}1&-1\\-1&2\end{bmatrix}\).

\[x=A^{-1}b=\begin{bmatrix}1&-1\\-1&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}5\\3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5-3\\-5+6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}\]

Verificação: \(2(2)+1=5\) ✓, \(\ 2+1=3\) ✓.

Equivalências com invertibilidade

Teorema — condições equivalentes

Para \(A\) quadrada \(n\times n\), as afirmações abaixo são equivalentes (todas verdadeiras ou todas falsas simultaneamente):

\(A\) é invertível.
\(\operatorname{posto}(A)=n\) (posto completo).
O único \(x\) que satisfaz \(Ax=0\) é \(x=0\) (solução trivial única).
A forma escalonada reduzida de \(A\) é \(I_n\).
\(\det(A)\neq 0\) (veremos determinantes na Aula 7).

Essa lista conecta todos os conceitos vistos até aqui — sistemas, escalonamento, posto e inversa — em uma única ideia central.

Resumo da aula

5.1 — \(A\) invertível: existe \(A^{-1}\) com \(AA^{-1}=A^{-1}A=I\); a inversa, quando existe, é única.
5.2 — Algoritmo \([A\mid I]\to[I\mid A^{-1}]\) via Gauss-Jordan; uma linha de zeros no bloco esquerdo \(\Rightarrow\) \(A\) não invertível.
5.3 — \((A^{-1})^{-1}=A\); \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\); \((A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\); \((cA)^{-1}=\tfrac1cA^{-1}\).
5.4 — \(Ax=b\) com \(A\) invertível tem solução única \(x=A^{-1}b\); invertibilidade \(\iff\) posto completo \(\iff\) \(Ax=0\) só trivial \(\iff\) \(\det(A)\neq0\).

Referências

Anton, H. & Rorres, C. Álgebra Linear com Aplicações, 10ª ed., Bookman — Cap. 1.
Lay, D. C. Álgebra Linear e suas Aplicações, 4ª ed., Pearson — Cap. 2.
Strang, G. Introdução à Álgebra Linear, 4ª ed., LTC — Cap. 2.