Álgebra Linear

Determinantes: Cofatores e Propriedades

Prof. Dr. Raphael Teixeira

Universidade Federal do Pará

Sumário

  • 7.1 Determinante \(2\times2\) e \(3\times3\) (regra de Sarrus)
  • 7.2 Interpretação geométrica: área e volume
  • 7.3 Expansão em cofatores (Laplace)
  • 7.4 Propriedades dos determinantes
  • 7.5 Determinante e invertibilidade

7.1 — Determinante de matrizes \(2\times2\) e \(3\times3\)

Determinante \(2\times2\)

Definição

Para \(A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\): \[\det A = ad-bc\]

Exemplo: \(A=\begin{bmatrix}3&2\\1&4\end{bmatrix} \ \Rightarrow\ \det A = 3(4)-2(1)=10.\)

Determinante \(3\times3\) — regra de Sarrus

Regra de Sarrus

Repetindo as duas primeiras colunas à direita, some os produtos das três diagonais “descendentes” e subtraia os produtos das três diagonais “ascendentes”.

Exemplo: \(A=\begin{bmatrix}1&2&3\\0&1&4\\5&6&0\end{bmatrix}\)

\[\det A = \big[1(1)(0)+2(4)(5)+3(0)(6)\big] - \big[3(1)(5)+1(4)(6)+2(0)(0)\big]\] \[= (0+40+0)-(15+24+0) = 40-39 = 1\]

7.2 — Interpretação geométrica

Determinante como área / volume

Interpretação geométrica

  • Em \(\mathbb{R}^2\): \(|\det[v_1\ v_2]|\) = área do paralelogramo formado pelos vetores-coluna \(v_1,v_2\).
  • Em \(\mathbb{R}^3\): \(|\det[v_1\ v_2\ v_3]|\) = volume do paralelepípedo formado por \(v_1,v_2,v_3\).
  • Se \(\det A=0\): os vetores são colineares/coplanares — a “figura” degenera (área/volume nulo).

7.3 — Expansão em cofatores (Laplace)

Menor complementar e cofator

Definição

Para \(A\) (\(n\times n\)), o menor complementar \(M_{ij}\) é o determinante da submatriz \((n-1)\times(n-1)\) obtida ao remover a linha \(i\) e a coluna \(j\) de \(A\). O cofator é \[C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.\]

Teorema — expansão de Laplace

Para qualquer linha \(i\) (ou coluna \(j\)) fixada: \[\det A = \sum_{k=1}^n a_{ik}C_{ik} = \sum_{k=1}^n a_{kj}C_{kj}\]

  • Válido ao longo de qualquer linha ou coluna — o resultado é sempre o mesmo.

Exemplo — expansão por cofatores (linha 2)

Para \(A=\begin{bmatrix}1&2&3\\0&1&4\\5&6&0\end{bmatrix}\), expandindo pela linha 2 (\(a_{21}=0,\ a_{22}=1,\ a_{23}=4\)):

\[C_{21}=(-1)^{3}\begin{vmatrix}2&3\\6&0\end{vmatrix}=-\big(0-18\big)=18\] \[C_{22}=(-1)^{4}\begin{vmatrix}1&3\\5&0\end{vmatrix}=\big(0-15\big)=-15\] \[C_{23}=(-1)^{5}\begin{vmatrix}1&2\\5&6\end{vmatrix}=-\big(6-10\big)=4\]

\[\det A = 0(18)+1(-15)+4(4) = -15+16 = 1\]

Confere com o valor obtido por Sarrus.

7.4 — Propriedades dos determinantes

Matriz triangular e troca de linhas

Propriedade 1 — matriz triangular

Se \(A\) é triangular (superior ou inferior), \(\det A\) é o produto dos elementos da diagonal.

Exemplo: \(U=\begin{bmatrix}2&1&1\\0&-8&-2\\0&0&1\end{bmatrix}\) (Aula 6) \(\ \Rightarrow\ \det U = 2(-8)(1)=-16.\)

Propriedade 2 — troca de linhas

Trocar duas linhas de \(A\) inverte o sinal do determinante.

Exemplo: \(\begin{vmatrix}3&2\\1&4\end{vmatrix}=10\), mas \(\begin{vmatrix}1&4\\3&2\end{vmatrix}=2-12=-10.\)

Linhas nulas, proporcionais e operações elementares

Propriedades 3, 4 e 5

  1. Se \(A\) possui uma linha (ou coluna) nula, \(\det A = 0\).
  2. Se duas linhas (ou colunas) de \(A\) são proporcionais, \(\det A = 0\).
  3. Somar a uma linha um múltiplo de outra não altera o determinante.

Exemplo (prop. 4): \(\begin{vmatrix}1&2\\2&4\end{vmatrix}=4-4=0\) (linha 2 = 2×linha 1).

Exemplo (prop. 5): \(\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}=-2\); somando \(2L_1\) a \(L_2\): \(\begin{vmatrix}1&2\\5&8\end{vmatrix}=8-10=-2.\) Mesmo valor!

Produto, transposta e múltiplo escalar

Propriedades 6, 7 e 8

  1. \(\det(AB) = \det(A)\det(B)\)
  2. \(\det(A^T) = \det(A)\)
  3. \(\det(cA) = c^n\det(A)\), para \(A\) de tamanho \(n\times n\)

Exemplo (prop. 6): \(A=\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix}\) (\(\det A=1\)), \(B=\begin{bmatrix}2&0\\1&3\end{bmatrix}\) (\(\det B=6\)): \(AB=\begin{bmatrix}4&6\\1&3\end{bmatrix}\), \(\det(AB)=12-6=6=1\times6\) ✓

Exemplo (prop. 8): \(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\) (\(\det A=-2\), \(n=2\)): \(2A=\begin{bmatrix}2&4\\6&8\end{bmatrix}\), \(\det(2A)=16-24=-8=2^2(-2)\) ✓

7.5 — Determinante e invertibilidade

\(A\) invertível \(\iff\) \(\det(A)\neq0\)

Teorema

Uma matriz quadrada \(A\) é invertível se, e somente se, \(\det(A)\neq0\). Além disso, \[\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}.\]

Exemplo: \(A=\begin{bmatrix}2&1\\1&1\end{bmatrix}\) (Aula 5): \(\det A = 2(1)-1(1)=1\neq0 \ \Rightarrow\ A\) é invertível.

Com \(A^{-1}=\begin{bmatrix}1&-1\\-1&2\end{bmatrix}\): \(\det(A^{-1})=1(2)-(-1)(-1)=2-1=1=\dfrac{1}{\det A}=\dfrac11.\) ✓

  • Este critério completa a lista de equivalências da Aula 5: invertibilidade \(\iff\) posto completo \(\iff\) \(Ax=0\) só trivial \(\iff\) \(\det(A)\neq0\).

Resumo da aula

  • 7.1 — Determinante \(2\times2\): \(ad-bc\); \(3\times3\): regra de Sarrus.
  • 7.2 — \(|\det|\) mede área (\(\mathbb{R}^2\)) ou volume (\(\mathbb{R}^3\)) formado pelos vetores-coluna.
  • 7.3 — Expansão de Laplace: \(\det A=\sum_k a_{ik}C_{ik}\), válida ao longo de qualquer linha/coluna.
  • 7.4 — Triangular: produto da diagonal; troca de linha inverte sinal; linha nula/proporcional \(\Rightarrow\) \(\det=0\); \(\det(AB)=\det A\det B\); \(\det(A^T)=\det A\); \(\det(cA)=c^n\det A\).
  • 7.5 — \(A\) invertível \(\iff \det(A)\neq0\); \(\det(A^{-1})=1/\det(A)\).

Referências

  • Anton, H. & Rorres, C. Álgebra Linear com Aplicações, 10ª ed., Bookman — Cap. 2.
  • Lay, D. C. Álgebra Linear e suas Aplicações, 4ª ed., Pearson — Cap. 3.
  • Strang, G. Introdução à Álgebra Linear, 4ª ed., LTC — Cap. 5.