Álgebra Linear

Regra de Cramer, Adjunta e Revisão do Bloco 1

Prof. Dr. Raphael Teixeira

Universidade Federal do Pará

Sumário

• 8.1 Matriz de cofatores e matriz adjunta — inversa via \(\operatorname{adj}(A)\)
• 8.2 Regra de Cramer
• 8.3 Custo computacional: cofatores/Cramer vs. eliminação de Gauss
• 8.4 Revisão geral do Bloco 1

8.1 — Matriz de cofatores e adjunta

Matriz adjunta

Definição

A matriz de cofatores de \(A\) é \(C=[C_{ij}]\). A matriz adjunta é a transposta da matriz de cofatores: \[\operatorname{adj}(A) = C^T\]

Teorema

Se \(\det(A)\neq0\): \[A^{-1} = \frac{1}{\det A}\operatorname{adj}(A)\]

• Método alternativo (não recomendado para \(n\) grande — Seção 8.3) ao Gauss-Jordan da Aula 5.

Exemplo — cofatores da matriz da Aula 5

Para \(A=\begin{bmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{bmatrix}\) (mesma matriz da Aula 5):

\[C_{11}=\begin{vmatrix}2&1\\1&2\end{vmatrix}=3,\quad C_{12}=-\begin{vmatrix}1&1\\1&2\end{vmatrix}=-1,\quad C_{13}=\begin{vmatrix}1&2\\1&1\end{vmatrix}=-1\] \[C_{21}=-\begin{vmatrix}1&1\\1&2\end{vmatrix}=-1,\quad C_{22}=\begin{vmatrix}2&1\\1&2\end{vmatrix}=3,\quad C_{23}=-\begin{vmatrix}2&1\\1&1\end{vmatrix}=-1\] \[C_{31}=\begin{vmatrix}1&1\\2&1\end{vmatrix}=-1,\quad C_{32}=-\begin{vmatrix}2&1\\1&1\end{vmatrix}=-1,\quad C_{33}=\begin{vmatrix}2&1\\1&2\end{vmatrix}=3\]

Exemplo — adjunta, determinante e \(A^{-1}\)

Matriz de cofatores \(C=\begin{bmatrix}3&-1&-1\\-1&3&-1\\-1&-1&3\end{bmatrix}\) — simétrica, logo \(\operatorname{adj}(A)=C^T=C\).

Expandindo pela linha 1: \(\det A = 2(3)+1(-1)+1(-1) = 6-1-1=4\).

\[A^{-1} = \frac{1}{\det A}\operatorname{adj}(A) = \frac14\begin{bmatrix}3&-1&-1\\-1&3&-1\\-1&-1&3\end{bmatrix}\]

Confirmação

Resultado idêntico ao obtido via Gauss-Jordan na Aula 5 — os dois métodos são equivalentes, apenas com custos computacionais diferentes.

8.2 — Regra de Cramer

Enunciado

Teorema — regra de Cramer

Se \(Ax=b\) com \(A\) (\(n\times n\)) e \(\det(A)\neq0\), a única solução é \[x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}, \qquad i=1,\dots,n,\] onde \(A_i\) é \(A\) com a coluna \(i\) substituída por \(b\).

• Útil teoricamente e para sistemas pequenos (\(n\le3\)); computacionalmente cara para \(n\) grande (Seção 8.3).

Exemplo — sistema \(3\times3\) (o mesmo das Aulas 3–4)

\[\begin{cases}x+y+z=6\\2x-y+z=3\\x+2y-z=2\end{cases} \qquad A=\begin{bmatrix}1&1&1\\2&-1&1\\1&2&-1\end{bmatrix},\quad b=\begin{bmatrix}6\\3\\2\end{bmatrix}\]

\[\det A = 7\]

\[\det A_1=\begin{vmatrix}6&1&1\\3&-1&1\\2&2&-1\end{vmatrix}=7, \qquad \det A_2=\begin{vmatrix}1&6&1\\2&3&1\\1&2&-1\end{vmatrix}=14, \qquad \det A_3=\begin{vmatrix}1&1&6\\2&-1&3\\1&2&2\end{vmatrix}=21\]

Exemplo — solução final

\[x = \frac{\det A_1}{\det A}=\frac{7}{7}=1, \qquad y=\frac{\det A_2}{\det A}=\frac{14}{7}=2, \qquad z=\frac{\det A_3}{\det A}=\frac{21}{7}=3\]

\[\boxed{(x,y,z)=(1,2,3)}\]

Exatamente a mesma solução obtida por eliminação de Gauss (Aula 3) e Gauss-Jordan (Aula 4) — três caminhos, um resultado.

8.3 — Custo computacional

Cofatores/Cramer vs. eliminação de Gauss

Comentário

• Calcular um determinante \(n\times n\) por expansão em cofatores exige, recursivamente, cerca de \(n!\) multiplicações — cresce absurdamente rápido.
• A regra de Cramer exige calcular \(n+1\) determinantes — ainda mais caro.
• A eliminação de Gauss resolve \(Ax=b\) com aproximadamente \(\tfrac{2}{3}n^3\) operações — polinomial, não fatorial.

• Para \(n=10\): \(10!\approx3{,}6\) milhões vs. \(\tfrac23(10)^3\approx667\) operações.
• Conclusão prática: cofatores e Cramer são ferramentas teóricas valiosas (fórmulas fechadas, prova de teoremas); na prática computacional, eliminação de Gauss (ou LU) é o método usado.

8.4 — Revisão geral do Bloco 1

Mapa mental do Bloco 1

Tudo conectado por posto e invertibilidade

\[\text{Sistema } Ax=b \ \xrightarrow{\text{Aulas 3–4}} \ \text{Escalonamento (posto)} \ \xrightarrow{\text{Aula 5}} \ \text{Inversa } A^{-1} \ \xrightarrow{\text{Aulas 7–8}} \ \text{Determinante}\]

Conceito	Pergunta que responde
Sistemas (Aula 1)	Quantas soluções tem \(Ax=b\)? (SPD/SPI/SI)
Escalonamento (Aulas 3–4)	Como calcular a solução? Qual o posto de \(A\)?
Inversa (Aula 5)	\(A\) é invertível? \(x=A^{-1}b\) é único?
LU (Aula 6)	Como resolver \(Ax=b\) eficientemente para vários \(b\)?
Determinante (Aulas 7–8)	\(\det(A)\neq0 \iff\) tudo acima “funciona bem”

• Fio condutor: para \(A\) quadrada, invertibilidade \(\iff\) posto completo \(\iff\) \(Ax=0\) só trivial \(\iff\) \(\det(A)\neq0\) \(\iff\) solução única para todo \(b\).

Referências do Bloco 1

• Anton, H. & Rorres, C. Álgebra Linear com Aplicações, 10ª ed., Bookman — Caps. 1–2.
• Lay, D. C. Álgebra Linear e suas Aplicações, 4ª ed., Pearson — Caps. 1–3.
• Strang, G. Introdução à Álgebra Linear, 4ª ed., LTC — Caps. 1–2 e 5.