Álgebra Linear

Espaços Vetoriais: Axiomas e Exemplos

Prof. Dr. Raphael Teixeira

Universidade Federal do Pará

Sumário

  • 9.1 Motivação: generalizando \(\mathbb{R}^n\)
  • 9.2 Definição formal de espaço vetorial (10 axiomas)
  • 9.3 Exemplos de espaços vetoriais
  • 9.4 Um contraexemplo
  • 9.5 Propriedades imediatas dos axiomas

9.1 — Motivação

De \(\mathbb{R}^n\) para outros conjuntos

  • Até aqui, trabalhamos com vetores em \(\mathbb{R}^n\): soma e multiplicação por escalar.
  • Pergunta: essas operações e suas propriedades algébricas aparecem em outros conjuntos?
  • Sim! Matrizes, polinômios e funções também podem ser “somados” e “multiplicados por escalar”.
  • Ideia central: abstrair as propriedades que realmente importam — os axiomas — e chamar de espaço vetorial qualquer conjunto que os satisfaça.

Por que abstrair?

  • Um teorema provado apenas a partir dos axiomas vale automaticamente para:
    • vetores de \(\mathbb{R}^n\);
    • matrizes;
    • polinômios;
    • funções contínuas;
    • e qualquer outro conjunto que satisfaça os axiomas.
  • Economia de esforço: prova-se uma vez, usa-se sempre.

9.2 — Definição formal

Espaço vetorial — os 10 axiomas (I)

Definição — Espaço Vetorial

Seja \(V\) um conjunto com duas operações: adição (\(u+v\)) e multiplicação por escalar (\(cu\)). \(V\) é um espaço vetorial (real) se, para todo \(u,v,w\in V\) e escalares \(c,d\in\mathbb{R}\):

  1. \(u+v \in V\) (fechamento da adição)
  2. \(u+v = v+u\) (comutatividade)
  3. \((u+v)+w = u+(v+w)\) (associatividade)
  4. Existe \(0\in V\) tal que \(u+0=u\) (elemento neutro)
  5. Para cada \(u\) existe \(-u\in V\) tal que \(u+(-u)=0\) (elemento oposto)

Espaço vetorial — os 10 axiomas (II)

Definição — Espaço Vetorial (continuação)

  1. \(cu \in V\) (fechamento da multiplicação por escalar)
  2. \(c(u+v) = cu+cv\)
  3. \((c+d)u = cu+du\)
  4. \(c(du) = (cd)u\)
  5. \(1u = u\)
  • Os axiomas 1–5 dizem que \((V,+)\) se comporta como a adição usual.
  • Os axiomas 6–10 regulam a interação entre escalares e vetores.
  • Os elementos de \(V\) são chamados vetores, mesmo quando são matrizes, polinômios etc.

9.3 — Exemplos de espaços vetoriais

Exemplo — \(\mathbb{R}^n\)

  • \(V=\mathbb{R}^n\) com adição e multiplicação por escalar usuais.
  • Todos os 10 axiomas já foram verificados nas aulas anteriores (AL01–AL08): é o exemplo motivador.
  • Vetor nulo: \(0=(0,0,\ldots,0)\). Oposto de \(v\): \(-v=(-1)v\).

Exemplo — espaço de matrizes \(M_{m,n}\)

  • \(V=M_{m,n}\): matrizes reais \(m\times n\), com adição usual de matrizes e \(cA\) (multiplicação de cada entrada por \(c\)).
  • Vetor nulo: matriz nula \(0_{m,n}\). Oposto de \(A\): \(-A\).

Verificação do Axioma 8 (para \(A,B\in M_{2,2}\)): \((c+d)A = cA+dA\) segue diretamente de \((c+d)a_{ij} = ca_{ij}+da_{ij}\) em cada entrada.

  • Os demais axiomas se verificam entrada a entrada, exatamente como em \(\mathbb{R}^{mn}\).

Exemplo — espaço de polinômios \(P_n\)

Definição

\(P_n\) = conjunto dos polinômios de grau \(\le n\): \[p(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n, \qquad a_i\in\mathbb{R}\]

  • Adição: \((p+q)(x) = p(x)+q(x)\) (soma coeficiente a coeficiente).
  • Escalar: \((cp)(x) = c\,p(x)\).
  • Vetor nulo: o polinômio \(0(x)=0\). Oposto de \(p\): \(-p\).
  • Novamente, cada axioma se verifica coeficiente a coeficiente — igual a \(\mathbb{R}^{n+1}\).

Exemplo — espaço de funções contínuas

  • \(V=C(-\infty,\infty)\): todas as funções contínuas \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\).
  • Adição \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\); escalar \((cf)(x)=cf(x)\).
  • Vetor nulo: a função constante \(0\).
  • Os 10 axiomas seguem das propriedades dos números reais aplicadas ponto a ponto — não entraremos em detalhes nesta disciplina, mas é um exemplo importante em Cálculo/Equações Diferenciais.

9.4 — Um contraexemplo

Nem toda estrutura é espaço vetorial

Considere \(V=\mathbb{R}^2\) com:

  • adição usual: \((x_1,y_1)+(x_2,y_2) = (x_1+x_2,\,y_1+y_2)\);
  • multiplicação por escalar modificada: \(c(x,y) = (cx,\,y)\) — a segunda coordenada não é escalada!

Pergunta: isso é um espaço vetorial?

O Axioma 8 falha

Contraexemplo

Tome \(u=(1,1)\) e \(c=d=1\). Pelo Axioma 8, deveríamos ter \((c+d)u = cu+du\).

\[(c+d)u = 2u = 2(1,1) = (2\cdot1,\ 1) = (2,1)\]

\[cu+du = 1\cdot(1,1) + 1\cdot(1,1) = (1,1)+(1,1) = (2,2)\]

Como \((2,1)\neq(2,2)\), o Axioma 8 \((c+d)u=cu+du\) falha. Logo \(V\), com esta multiplicação por escalar, não é espaço vetorial.

  • Os axiomas 1–7, 9 e 10 até se verificam para esta operação — mas basta um axioma falhar para destruir a estrutura.

9.5 — Propriedades imediatas

Consequências dos axiomas

Teorema

Seja \(V\) espaço vetorial, \(v\in V\) e \(c\) escalar. Então:

  1. \(0v = 0\)
  2. \(c\cdot 0 = 0\)
  3. \((-1)v = -v\)
  • Note que aqui \(0\) (escalar) e \(0\) (vetor nulo) são coisas diferentes, mas ambas satisfazem a propriedade.
  • Essas propriedades não são axiomas — são consequências lógicas deles.

Prova de \(0v=0\) e \((-1)v=-v\)

(a) Pelo Axioma 8: \(0v = (0+0)v = 0v+0v\). Somando \(-(0v)\) aos dois lados: \[0 = 0v+0v+(-(0v)) = 0v.\]

(c) Usando Axiomas 10 e 8: \[v+(-1)v = 1v+(-1)v = (1+(-1))v = 0v = 0\]

Logo \((-1)v\) é o oposto de \(v\), ou seja, \((-1)v=-v\).

  • A prova de \(c\cdot 0=0\) é análoga, usando o Axioma 7: \(c\cdot 0 = c(0+0)=c\cdot0+c\cdot0\).

Resumo da aula

  • 9.1–9.2 — Espaço vetorial: conjunto com adição e multiplicação por escalar satisfazendo 10 axiomas.
  • 9.3 — Exemplos: \(\mathbb{R}^n\), \(M_{m,n}\), \(P_n\), funções contínuas — todos verificam os axiomas “coordenada a coordenada”.
  • 9.4 — Nem toda operação “razoável” gera espaço vetorial: basta um axioma falhar (contraexemplo com \(c(x,y)=(cx,y)\)).
  • 9.5 — Consequências dos axiomas: \(0v=0\), \(c\cdot 0=0\), \((-1)v=-v\).

Referências

  • ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra Linear com Aplicações. 10ª ed. Capítulo 4 — Espaços Vetoriais Gerais.
  • LAY, D. Álgebra Linear e suas Aplicações. 4ª ed. Capítulo 4 — Espaços Vetoriais.
  • STRANG, G. Álgebra Linear e suas Aplicações. 4ª ed. Capítulo 3 — Espaços Vetoriais.