Álgebra Linear

Subespaços Vetoriais

Prof. Dr. Raphael Teixeira

Universidade Federal do Pará

Sumário

10.1 Definição de subespaço e teste de subespaço
10.2 Exemplos geométricos em \(\mathbb{R}^3\)
10.3 Exemplos em espaços de matrizes
10.4 Espaço-solução de sistemas lineares
10.5 Interseção e união de subespaços

10.1 — Definição

Subespaço vetorial

Definição

Seja \(V\) espaço vetorial. Um subconjunto \(W\subseteq V\), \(W\neq\emptyset\), é um subespaço de \(V\) quando \(W\) é fechado sob as operações de \(V\):

\(u,v\in W \Rightarrow u+v\in W\)
\(u\in W,\ c\) escalar \(\Rightarrow cu\in W\)

Como \(W\) herda as operações de \(V\), os axiomas 2,3,7,8,9,10 são automáticos.
Só é preciso checar: fechamento, existência do vetor nulo e dos opostos — e estes últimos decorrem do fechamento (Teorema a seguir).

Teste do subespaço

Teorema — teste de subespaço

\(W\subseteq V\) é subespaço de \(V\) se, e somente se, valem as três condições:

\(0\in W\) (o vetor nulo pertence a \(W\));
\(u,v\in W \Rightarrow u+v\in W\) (fechado sob adição);
\(u\in W,\ c\in\mathbb{R} \Rightarrow cu\in W\) (fechado sob escalar).

Todo subespaço é, ele próprio, um espaço vetorial (com as mesmas operações de \(V\)).
Todo espaço vetorial \(V\) tem pelo menos dois subespaços “triviais”: \(\{0\}\) e o próprio \(V\).

10.2 — Exemplos geométricos em \(\mathbb{R}^3\)

Retas e planos pela origem

Uma reta pela origem é \(W=\{tv : t\in\mathbb{R}\}\) para algum \(v\neq0\) — é o espaço gerado por \(v\).
Um plano pela origem é \(W=\{su+tw : s,t\in\mathbb{R}\}\) para \(u,w\) não colineares.
Ambos satisfazem o teste do subespaço (contêm \(0\), e são fechados sob soma e escalar).

Retas e planos que NÃO passam pela origem

Contraexemplo

Seja \(W=\{(x,y,1) : x,y\in\mathbb{R}\}\) — plano \(z=1\) em \(\mathbb{R}^3\), que não passa pela origem.

\(0=(0,0,0)\notin W\): já falha a condição 1 do teste.
Também falha o fechamento: \((1,0,1)\in W\), mas \(2\cdot(1,0,1)=(2,0,2)\notin W\).

Logo \(W\) não é subespaço de \(\mathbb{R}^3\) — apesar de ser um plano “geometricamente bonito”.

Regra geral: todo subespaço não trivial de \(\mathbb{R}^3\) é \(\{0\}\), uma reta pela origem, um plano pela origem, ou \(\mathbb{R}^3\).

10.3 — Exemplos em espaços de matrizes

Matrizes simétricas formam subespaço

Seja \(W=\{A\in M_{n,n} : A^T=A\}\subset M_{n,n}\).

\(0\in W\): a matriz nula é simétrica.
Fechado sob soma: se \(A^T=A\) e \(B^T=B\), então \((A+B)^T = A^T+B^T = A+B\).
Fechado sob escalar: \((cA)^T = cA^T = cA\).

\(\Rightarrow\) \(W\) é subespaço de \(M_{n,n}\).

Matrizes invertíveis NÃO formam subespaço

Contraexemplo

Seja \(W=\{A\in M_{2,2} : A \text{ é invertível}\}\). Tome \[A=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}, \qquad B=\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix}\]

Ambas são invertíveis (\(\det A=1\neq0\), \(\det B=1\neq0\)), mas \[A+B=\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}\] que não é invertível (\(\det=0\)). Logo \(W\) não é fechado sob adição: não é subespaço.

Além disso, \(0\notin W\) (a matriz nula nunca é invertível) — já bastaria para falhar o teste.

10.4 — Espaço-solução de sistemas lineares

O espaço-solução de \(Ax=0\) é subespaço

Seja \(A\) matriz \(m\times n\) e \(N(A)=\{x\in\mathbb{R}^n : Ax=0\}\) (o núcleo, visto em AL04).

Teorema

\(N(A)\) é subespaço de \(\mathbb{R}^n\).

Verificação do teste:

\(A\cdot 0 = 0 \Rightarrow 0\in N(A)\).
Se \(Ax=0\) e \(Ay=0\), então \(A(x+y)=Ax+Ay=0+0=0 \Rightarrow x+y\in N(A)\).
Se \(Ax=0\), então \(A(cx)=c(Ax)=c\cdot0=0 \Rightarrow cx\in N(A)\).

O espaço-solução de \(Ax=b\) (\(b\neq0\)) NÃO é subespaço

Contraexemplo

Seja \(S=\{x\in\mathbb{R}^n : Ax=b\}\) com \(b\neq 0\).

Se \(x_0\in S\), então \(A(0)=0\neq b\), logo \(0\notin S\).
Já falha a condição 1 do teste \(\Rightarrow\) \(S\) não é subespaço (é um conjunto “deslocado” — um hiperplano afim, não pela origem).

Geometricamente: análogo às retas/planos que não passam pela origem da seção 10.2.

10.5 — Interseção e união de subespaços

Interseção de subespaços é subespaço

Teorema

Se \(W_1,W_2\) são subespaços de \(V\), então \(W_1\cap W_2\) também é subespaço de \(V\).

Prova (teste de subespaço):

\(0\in W_1\) e \(0\in W_2\) (ambos subespaços) \(\Rightarrow 0\in W_1\cap W_2\).
Se \(u,v\in W_1\cap W_2\): \(u,v\in W_1\Rightarrow u+v\in W_1\); \(u,v\in W_2\Rightarrow u+v\in W_2\). Logo \(u+v\in W_1\cap W_2\).
Analogamente, \(u\in W_1\cap W_2,\ c\) escalar \(\Rightarrow cu\in W_1\) e \(cu\in W_2 \Rightarrow cu\in W_1\cap W_2\). \(\blacksquare\)

União de subespaços em geral NÃO é subespaço

Contraexemplo

Em \(\mathbb{R}^2\): \(W_1=\{(x,0):x\in\mathbb{R}\}\) (eixo \(x\)) e \(W_2=\{(0,y):y\in\mathbb{R}\}\) (eixo \(y\)) — ambos subespaços.

Tome \(u=(1,0)\in W_1\subset W_1\cup W_2\) e \(v=(0,1)\in W_2\subset W_1\cup W_2\). Mas \[u+v = (1,1) \notin W_1\cup W_2\]

pois \((1,1)\) não está em nenhum dos eixos. Logo \(W_1\cup W_2\) não é fechada sob adição: não é subespaço.

Resumo da aula

10.1 — Subespaço: subconjunto não vazio fechado sob soma e escalar; teste com 3 condições (\(0\in W\), fechamento da soma, fechamento do escalar).
10.2 — Em \(\mathbb{R}^3\): retas/planos pela origem são subespaços; se não passam pela origem, não são.
10.3 — Matrizes simétricas: subespaço de \(M_{n,n}\). Matrizes invertíveis: não formam subespaço.
10.4 — \(N(A)=\{x:Ax=0\}\) é subespaço; \(\{x:Ax=b\}\) com \(b\neq0\) não é.
10.5 — Interseção de subespaços é subespaço; união em geral não é.

Referências

ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra Linear com Aplicações. 10ª ed. Seção 4.2 — Subespaços.
LAY, D. Álgebra Linear e suas Aplicações. 4ª ed. Seção 4.1 — Espaços Vetoriais e Subespaços.
STRANG, G. Álgebra Linear e suas Aplicações. 4ª ed. Seção 3.1 — Espaços Vetoriais e Subespaços.