Álgebra Linear

Combinação Linear e Espaço Gerado

Prof. Dr. Raphael Teixeira

Universidade Federal do Pará

Sumário

• 11.1 Combinação linear
• 11.2 Espaço gerado (\(\mathrm{ger}\) / \(\mathrm{span}\))
• 11.3 Interpretação geométrica
• 11.4 Pertinência ao espaço gerado — exemplos algébricos
• 11.5 Conjuntos geradores de \(\mathbb{R}^n\)

11.1 — Combinação linear

Definição de combinação linear

Definição

Um vetor \(w\) é combinação linear dos vetores \(v_1,v_2,\ldots,v_k\) de um espaço vetorial \(V\) se existem escalares \(c_1,c_2,\ldots,c_k\) tais que \[w = c_1v_1+c_2v_2+\cdots+c_kv_k.\]

• Já usamos essa ideia informalmente desde AL01 (sistemas lineares) e AL03 (eliminação de Gauss).
• Os \(c_i\) são os coeficientes da combinação linear.

Exemplo — combinação linear em \(\mathbb{R}^3\)

Para \(v_1=(1,0,1)\), \(v_2=(0,1,1)\), o vetor \[w = 2v_1 - 3v_2 = 2(1,0,1) - 3(0,1,1) = (2,-3,-1)\] é combinação linear de \(v_1,v_2\), com coeficientes \(c_1=2\), \(c_2=-3\).

11.2 — Espaço gerado

Definição de espaço gerado

Definição

Seja \(S=\{v_1,\ldots,v_k\}\subset V\). O espaço gerado por \(S\), denotado \(\mathrm{ger}(S)\) ou \(\mathrm{span}(S)\), é o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores de \(S\): \[\mathrm{ger}(S) = \{c_1v_1+c_2v_2+\cdots+c_kv_k : c_1,\ldots,c_k\in\mathbb{R}\}.\]

Dizemos que \(S\) gera \(\mathrm{ger}(S)\).

O espaço gerado é sempre um subespaço

Teorema

Para qualquer \(S=\{v_1,\ldots,v_k\}\subset V\), o conjunto \(\mathrm{ger}(S)\) é subespaço de \(V\).

Prova (teste de subespaço):

1. \(0 = 0v_1+\cdots+0v_k \in \mathrm{ger}(S)\).
2. Se \(u=\sum a_iv_i\) e \(w=\sum b_iv_i\), então \(u+w = \sum(a_i+b_i)v_i \in \mathrm{ger}(S)\).
3. Se \(u=\sum a_iv_i\), então \(cu = \sum(ca_i)v_i \in \mathrm{ger}(S)\). \(\blacksquare\)

11.3 — Interpretação geométrica

Reta e plano gerados

• (a) \(\mathrm{ger}\{v\}\), com \(v\neq0\), é a reta que passa pela origem na direção de \(v\).
• (b) \(\mathrm{ger}\{u,w\}\), com \(u,w\) linearmente independentes (não colineares), é o plano que passa pela origem contendo \(u\) e \(w\).
• Se \(u,w\) fossem colineares, \(\mathrm{ger}\{u,w\}\) seria apenas uma reta (o “plano” degeneraria).

11.4 — Pertinência ao espaço gerado

Exemplo — um vetor QUE pertence ao espaço gerado

Sejam \(v_1=(1,0,1)\), \(v_2=(0,1,1)\). O vetor \(w=(1,1,2)\) pertence a \(\mathrm{ger}\{v_1,v_2\}\)?

Buscamos \(c_1,c_2\) com \(c_1v_1+c_2v_2=w\): \[c_1(1,0,1)+c_2(0,1,1) = (c_1,\ c_2,\ c_1+c_2) = (1,1,2)\]

\[c_1=1,\qquad c_2=1,\qquad c_1+c_2=1+1=2\ \checkmark\]

Sistema consistente: \(c_1=1\), \(c_2=1\). Logo \(w=v_1+v_2 \in \mathrm{ger}\{v_1,v_2\}\).

Exemplo — um vetor que NÃO pertence ao espaço gerado

Com os mesmos \(v_1=(1,0,1)\), \(v_2=(0,1,1)\), o vetor \(w'=(1,1,3)\) pertence a \(\mathrm{ger}\{v_1,v_2\}\)?

\[c_1(1,0,1)+c_2(0,1,1) = (c_1,\ c_2,\ c_1+c_2) = (1,1,3)\]

Das duas primeiras equações: \(c_1=1\), \(c_2=1\). Substituindo na terceira: \[c_1+c_2 = 1+1 = 2 \neq 3\]

Sistema inconsistente: não existem \(c_1,c_2\). Logo \(w'\notin \mathrm{ger}\{v_1,v_2\}\).

• Geometricamente: \(w'\) está fora do plano gerado por \(v_1,v_2\).

11.5 — Conjuntos geradores de \(\mathbb{R}^n\)

Quando um conjunto gera todo \(\mathbb{R}^n\)?

Fato

\(S=\{v_1,\ldots,v_k\}\subset\mathbb{R}^n\) gera \(\mathbb{R}^n\) (isto é, \(\mathrm{ger}(S)=\mathbb{R}^n\)) se, e somente se, a matriz \(M\) cujas colunas são \(v_1,\ldots,v_k\) tem posto \(n\).

• Se \(k=n\): basta \(\det(M)\neq 0\).
• Se \(k<n\): impossível gerar \(\mathbb{R}^n\) (posto \(\le k<n\)).
• Se \(k>n\): possível, desde que o posto atinja \(n\).

Exemplo — verificando se três vetores geram \(\mathbb{R}^3\)

Verificar se \(v_1=(1,0,1)\), \(v_2=(0,1,1)\), \(v_3=(1,1,0)\) geram \(\mathbb{R}^3\).

\[M = \begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&1&0\end{bmatrix}\]

\[\det(M) = 1\begin{vmatrix}1&1\\1&0\end{vmatrix} - 0\begin{vmatrix}0&1\\1&0\end{vmatrix} + 1\begin{vmatrix}0&1\\1&1\end{vmatrix} = 1(0-1)-0+1(0-1) = -1-1=-2\]

Como \(\det(M)=-2\neq0\), o posto de \(M\) é \(3=n\). Logo \(\{v_1,v_2,v_3\}\) gera \(\mathbb{R}^3\).

Resumo da aula

• 11.1 — Combinação linear: \(w=c_1v_1+\cdots+c_kv_k\).
• 11.2 — \(\mathrm{ger}(S)\): conjunto de todas as combinações lineares de \(S\); é sempre subespaço.
• 11.3 — Geometricamente: 1 vetor gera uma reta; 2 vetores LI geram um plano (ambos pela origem).
• 11.4 — Pertinência a \(\mathrm{ger}(S)\) se testa resolvendo um sistema linear (consistente \(\Rightarrow\) pertence).
• 11.5 — \(S\) gera \(\mathbb{R}^n\) \(\iff\) a matriz formada pelos vetores de \(S\) tem posto \(n\).

Referências

• ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra Linear com Aplicações. 10ª ed. Seção 4.3 — Independência Linear (parte de combinação/espaço gerado na Seção 4.2–4.3).
• LAY, D. Álgebra Linear e suas Aplicações. 4ª ed. Seção 4.1 — Combinações Lineares e Espaços Gerados.
• STRANG, G. Álgebra Linear e suas Aplicações. 4ª ed. Seção 3.1 — Combinações Lineares.