Álgebra Linear

Dependência e Independência Linear

Prof. Dr. Raphael Teixeira

Universidade Federal do Pará

Sumário

  • 12.1 Definição de dependência e independência linear
  • 12.2 Interpretação geométrica
  • 12.3 Método prático: matriz e escalonamento
  • 12.4 Exemplo numérico completo
  • 12.5 Dois teoremas úteis

12.1 — Definição

Dependência e independência linear

Definição

Um conjunto \(\{v_1,v_2,\ldots,v_k\}\subset V\) é linearmente dependente (LD) se existem escalares \(c_1,\ldots,c_k\), não todos nulos, tais que \[c_1v_1+c_2v_2+\cdots+c_kv_k = 0.\]

Caso contrário — isto é, se a única solução da equação acima for \(c_1=c_2=\cdots=c_k=0\) (a solução trivial) — o conjunto é linearmente independente (LI).

  • LD: existe uma relação de dependência não trivial entre os vetores.
  • LI: nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos demais.

12.2 — Interpretação geométrica

LD e LI em \(\mathbb{R}^2\)/\(\mathbb{R}^3\)

  • (a) Dois vetores são LD \(\iff\) são paralelos/colineares (\(v=ku\) para algum escalar \(k\)).
  • (b) Dois vetores são LI \(\iff\) não são colineares.
  • Em \(\mathbb{R}^3\): três vetores são LD \(\iff\) são coplanares (todos contidos em um mesmo plano pela origem).

12.3 — Método prático

Testando LI/LD via escalonamento

Para testar se \(\{v_1,\ldots,v_k\}\subset\mathbb{R}^n\) é LI:

  1. Monte a matriz \(M\) com \(v_1,\ldots,v_k\) como colunas.
  2. Escalone \(M\) até a forma escalonada.
  3. Compare o posto de \(M\) com o número \(k\) de vetores.

Teorema

\(\{v_1,\ldots,v_k\}\) é LI \(\iff\) \(\mathrm{posto}(M)=k\) \(\iff\) o sistema homogêneo \(Mc=0\) tem só a solução trivial.

  • Se \(k=n\) (mesmo número de vetores que a dimensão do espaço), basta calcular \(\det(M)\): LI \(\iff \det(M)\neq0\).

12.4 — Exemplo numérico completo

Testando LI/LD de três vetores em \(\mathbb{R}^3\)

Sejam \(v_1=(1,2,3)\), \(v_2=(0,1,4)\), \(v_3=(2,3,2)\). Montamos \(M\) com essas colunas e escalonamos:

\[M=\begin{bmatrix}1&0&2\\2&1&3\\3&4&2\end{bmatrix} \xrightarrow{L_2-2L_1,\ L_3-3L_1} \begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&-1\\0&4&-4\end{bmatrix} \xrightarrow{L_3-4L_2} \begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&-1\\0&0&0\end{bmatrix}\]

\(\mathrm{posto}(M)=2 < 3 = k\) (número de vetores) \(\Rightarrow\) LD.

Encontrando a relação de dependência

Resolvendo \(c_1v_1+c_2v_2+c_3v_3=0\) a partir da forma escalonada (\(c_3=t\) livre): \[c_1+2c_3=0 \Rightarrow c_1=-2t, \qquad c_2-c_3=0 \Rightarrow c_2=t\]

Para \(t=1\): \(c_1=-2\), \(c_2=1\), \(c_3=1\). Verificando: \[-2v_1+v_2+v_3 = -2(1,2,3)+(0,1,4)+(2,3,2) = (0,0,0) \ \checkmark\]

Ou seja, \(v_3 = 2v_1-v_2\): o terceiro vetor é combinação linear dos outros dois.

12.5 — Dois teoremas úteis

Mais vetores que a dimensão

Teorema

Todo conjunto com mais de \(n\) vetores em \(\mathbb{R}^n\) é linearmente dependente.

  • Intuição: a equação \(c_1v_1+\cdots+c_kv_k=0\) (com \(k>n\)) é um sistema homogêneo de \(n\) equações e \(k>n\) incógnitas — sempre tem solução não trivial (mais incógnitas que equações).
  • Exemplo: quaisquer 4 vetores em \(\mathbb{R}^3\) são automaticamente LD.

Conjunto contendo o vetor nulo

Teorema

Todo conjunto que contém o vetor nulo é linearmente dependente.

Justificativa: se \(v_1=0\), então \(1\cdot v_1 + 0\cdot v_2+\cdots+0\cdot v_k = 0\) é uma combinação não trivial (o coeficiente de \(v_1\) é \(1\neq0\)) que resulta em \(0\).

  • Logo, um conjunto LI nunca pode conter o vetor nulo.

Resumo da aula

  • 12.1 — LD: existe combinação linear não trivial igual a zero. LI: só a trivial.
  • 12.2 — Geometricamente: LD \(\iff\) colinear (2 vetores) ou coplanar (3 vetores em \(\mathbb{R}^3\)).
  • 12.3 — Método prático: matriz com vetores em colunas, escalonar; LI \(\iff\) posto = número de vetores.
  • 12.4 — Exemplo completo: \(\{(1,2,3),(0,1,4),(2,3,2)\}\) é LD, com \(v_3=2v_1-v_2\).
  • 12.5 — Mais de \(n\) vetores em \(\mathbb{R}^n\): sempre LD. Conjunto com o vetor nulo: sempre LD.

Referências

  • ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra Linear com Aplicações. 10ª ed. Seção 4.3 — Independência Linear.
  • LAY, D. Álgebra Linear e suas Aplicações. 4ª ed. Seção 4.3 — Conjuntos Linearmente Independentes; Bases.
  • STRANG, G. Álgebra Linear e suas Aplicações. 4ª ed. Seção 3.1 — Independência Linear.