Álgebra Linear

Base e Dimensão

Prof. Dr. Raphael Teixeira

Universidade Federal do Pará

Sumário

  • 13.1 Definição de base
  • 13.2 Bases canônicas: \(\mathbb{R}^n\), \(M_{2,2}\), \(P_n\)
  • 13.3 Dimensão
  • 13.4 Atalhos para verificar bases
  • 13.5 Exemplo numérico
  • 13.6 Coordenadas — motivação

13.1 — Definição de base

O que é uma base

Definição

Um conjunto \(B=\{v_1,\ldots,v_n\}\subset V\) é uma base de \(V\) quando:

  1. \(B\) gera \(V\): \(\mathrm{ger}(B)=V\);
  2. \(B\) é linearmente independente.
  • Uma base é, ao mesmo tempo, “suficiente” (gera tudo) e “sem redundância” (LI — nenhum vetor é combinação dos demais).
  • É o conjunto mínimo de vetores necessário para descrever todo o espaço.

13.2 — Bases canônicas

Base canônica de \(\mathbb{R}^n\)

\[B=\{e_1,e_2,\ldots,e_n\}, \qquad e_1=(1,0,\ldots,0),\ e_2=(0,1,\ldots,0),\ \ldots,\ e_n=(0,\ldots,0,1)\]

  • Gera \(\mathbb{R}^n\): todo \(v=(v_1,\ldots,v_n) = v_1e_1+\cdots+v_ne_n\).
  • LI: a matriz \([e_1\ \cdots\ e_n]=I_n\) tem \(\det=1\neq0\).

Base canônica de \(M_{2,2}\)

\[B=\left\{\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix},\ \begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix},\ \begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix},\ \begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}\right\}\]

  • Toda matriz \(A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\) se escreve unicamente como \(aE_{11}+bE_{12}+cE_{21}+dE_{22}\).
  • 4 vetores geradores, LI \(\Rightarrow\) base de \(M_{2,2}\).

Base canônica de \(P_n\)

\[B=\{1,\ x,\ x^2,\ \ldots,\ x^n\}\]

  • Todo \(p(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n\) se escreve unicamente nesta base, com coeficientes \(a_0,\ldots,a_n\).
  • \(n+1\) vetores geradores, LI (um polinômio nulo só tem coeficientes nulos) \(\Rightarrow\) base de \(P_n\).

13.3 — Dimensão

Todas as bases têm o mesmo tamanho

Teorema

Se um espaço vetorial \(V\) tem uma base com \(n\) vetores, então toda base de \(V\) tem exatamente \(n\) vetores.

Definição — Dimensão

O número \(n\) de vetores em qualquer base de \(V\) é chamado dimensão de \(V\), denotado \(\dim(V)=n\). Convenciona-se \(\dim(\{0\})=0\).

  • Dimensão é um número bem definido — não depende de qual base escolhemos.

Dimensões dos exemplos vistos

Espaço Base canônica Dimensão
\(\mathbb{R}^n\) \(\{e_1,\ldots,e_n\}\) \(n\)
\(M_{m,n}\) \(\{E_{ij}\}\) \(mn\)
\(P_n\) \(\{1,x,\ldots,x^n\}\) \(n+1\)
  • Cuidado: \(P_n\) (grau \(\le n\)) tem dimensão \(n+1\), não \(n\)!

13.4 — Atalhos para verificar bases

Dois atalhos úteis

Teorema — atalhos

Seja \(V\) espaço vetorial com \(\dim(V)=n\), e \(S\subset V\) com exatamente \(n\) vetores. Então:

  • Se \(S\) é LI, então \(S\) é automaticamente base de \(V\).
  • Se \(S\) gera \(V\), então \(S\) é automaticamente base de \(V\).
  • Ou seja: conhecendo \(\dim(V)=n\) e tendo exatamente \(n\) vetores, basta verificar uma das duas condições (LI ou gerador) — a outra vem de graça!
  • Sem esse atalho seria preciso verificar as duas condições separadamente.

13.5 — Exemplo numérico

Verificando uma base de \(\mathbb{R}^3\) via determinante

Verificar se \(\{v_1,v_2,v_3\} = \{(1,1,0),\ (0,1,1),\ (1,0,1)\}\) é base de \(\mathbb{R}^3\).

  • \(\dim(\mathbb{R}^3)=3\) e temos exatamente 3 vetores \(\Rightarrow\) pelo atalho, basta checar LI (via determinante).

\[M=\begin{bmatrix}1&0&1\\1&1&0\\0&1&1\end{bmatrix}\]

\[\det(M) = 1\begin{vmatrix}1&0\\1&1\end{vmatrix} - 0\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix} + 1\begin{vmatrix}1&1\\0&1\end{vmatrix} = 1(1-0)-0+1(1-0) = 1+1=2\]

Como \(\det(M)=2\neq0\): os vetores são LI \(\Rightarrow\) formam base de \(\mathbb{R}^3\) (sem precisar verificar separadamente que geram \(\mathbb{R}^3\)).

13.6 — Coordenadas: motivação

Por que “base” importa: coordenadas

  • Fixada uma base ordenada \(B=\{v_1,\ldots,v_n\}\) de \(V\), todo vetor \(v\in V\) se escreve de modo único como \[v = c_1v_1+c_2v_2+\cdots+c_nv_n.\]

  • A unicidade decorre de \(B\) ser LI (duas representações diferentes dariam uma combinação linear não trivial igual a zero).

  • Os coeficientes \((c_1,\ldots,c_n)\) são as coordenadas de \(v\) em relação a \(B\) — o assunto da próxima aula (AL15).

Resumo da aula

  • 13.1 — Base: conjunto gerador e LI.
  • 13.2 — Bases canônicas de \(\mathbb{R}^n\), \(M_{2,2}\), \(P_n\).
  • 13.3 — Dimensão: número de vetores em qualquer base (bem definido); \(\dim P_n=n+1\).
  • 13.4 — Atalhos: com \(n=\dim(V)\) vetores, basta checar LI ou gerador (não as duas).
  • 13.5 — Exemplo: 3 vetores em \(\mathbb{R}^3\) são base sse \(\det\neq0\).
  • 13.6 — Base ordenada \(\Rightarrow\) coordenadas únicas (motivação para AL15).

Referências

  • ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra Linear com Aplicações. 10ª ed. Seção 4.4 — Base e Dimensão.
  • LAY, D. Álgebra Linear e suas Aplicações. 4ª ed. Seções 4.3–4.5 — Base, Coordenadas, Dimensão.
  • STRANG, G. Álgebra Linear e suas Aplicações. 4ª ed. Seção 3.2 — O Espaço Nulo: Solução de \(Ax=0\) (bases e dimensão).