Álgebra Linear

Espaço Linha, Espaço Coluna, Núcleo, Posto e Nulidade

Prof. Dr. Raphael Teixeira

Universidade Federal do Pará

Sumário

  • 14.1 Espaço linha, espaço coluna e núcleo
  • 14.2 Operações elementares e o espaço linha
  • 14.3 Bases do espaço linha e do espaço coluna
  • 14.4 Posto e nulidade; teorema do posto
  • 14.5 Exemplo numérico completo (matriz \(3\times4\))

14.1 — Definições

Três subespaços associados a uma matriz

Seja \(A\) uma matriz \(m\times n\).

Definições

  • Espaço linha \(R(A^T)\): subespaço de \(\mathbb{R}^n\) gerado pelas linhas de \(A\).
  • Espaço coluna \(R(A)\): subespaço de \(\mathbb{R}^m\) gerado pelas colunas de \(A\).
  • Núcleo (espaço nulo) \(N(A) = \{x\in\mathbb{R}^n : Ax=0\}\): já estudado em AL04/AL10.
  • \(R(A)\) é exatamente o conjunto dos \(b\) para os quais \(Ax=b\) é consistente (pois \(Ax\) é combinação linear das colunas de \(A\), com coeficientes \(x_i\)).

14.2 — Operações elementares e o espaço linha

O que se preserva ao escalonar

Teorema

Operações elementares sobre as linhas de \(A\) preservam o espaço linha: se \(A'\) é obtida de \(A\) por operações elementares, então \(R(A^T)=R(A'^T)\).

  • Trocar, somar múltiplos ou escalar linhas apenas produz novas combinações lineares das linhas originais — o conjunto de todas as combinações lineares (o espaço gerado) não muda.
  • Cuidado: o mesmo não vale para o espaço coluna! Operações de linha podem alterar completamente quais combinações de colunas são possíveis (o espaço coluna de \(A'\) pode ser bem diferente do de \(A\)).
  • Consequência prática: o espaço linha pode ser lido diretamente da forma escalonada.

14.3 — Bases do espaço linha e do espaço coluna

Como obter as bases

Procedimento

Dada \(A\), escalone até a forma escalonada \(R\) (ou RREF):

  • Base do espaço linha: as linhas não nulas de \(R\).
  • Base do espaço coluna: as colunas de \(A\) (a matriz original!) que correspondem às colunas pivô de \(R\).
  • Atenção: a base do espaço linha usa a matriz escalonada; a base do espaço coluna usa as colunas correspondentes na matriz original (pois, como vimos, o espaço coluna não é preservado pelo escalonamento).

14.4 — Posto e nulidade

Definições

Definição

  • Posto de \(A\): \(\mathrm{posto}(A) = \dim(R(A)) = \dim(R(A^T))\).
  • Nulidade de \(A\): \(\mathrm{nul}(A) = \dim(N(A))\).

Teorema

\(\dim(R(A)) = \dim(R(A^T))\) — isto é, a dimensão do espaço coluna sempre coincide com a do espaço linha, mesmo quando vivem em espaços diferentes (\(\mathbb{R}^m\) e \(\mathbb{R}^n\)). Esse valor comum é o posto.

Teorema do posto (rank-nullity)

Teorema do posto

Para \(A\) de tamanho \(m\times n\): \[\mathrm{posto}(A) + \mathrm{nul}(A) = n\]

  • \(n\) = número de colunas de \(A\) = número de variáveis do sistema \(Ax=0\).
  • Intuição: cada coluna pivô “consome” uma dimensão do espaço linha/coluna (posto); cada coluna livre gera uma direção no núcleo (nulidade).

14.5 — Exemplo numérico completo

A matriz e o escalonamento

\[A=\begin{bmatrix}1&2&1&3\\2&4&0&4\\1&2&2&5\end{bmatrix}\]

Escalonando (\(L_2\leftarrow L_2-2L_1\), \(L_3\leftarrow L_3-L_1\), depois eliminando):

\[\begin{bmatrix}1&2&1&3\\0&0&-2&-2\\0&0&1&2\end{bmatrix} \to \cdots \to R=\begin{bmatrix}1&2&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}\]

Pivôs nas colunas 1, 3 e 4.

Posto e nulidade

  • \(\mathrm{posto}(A) = 3\) (três linhas não nulas em \(R\); três colunas pivô).
  • \(n=4\) colunas \(\Rightarrow\) pelo teorema do posto: \(\mathrm{nul}(A) = 4-3=1\).

Base do núcleo: de \(R\), as equações são \(x_1+2x_2=0\), \(x_3=0\), \(x_4=0\), com \(x_2=t\) livre: \[x = t(-2,\,1,\,0,\,0) \quad\Rightarrow\quad N(A) = \mathrm{ger}\{(-2,1,0,0)\}\]

Base do espaço linha e do espaço coluna

Base do espaço linha (linhas não nulas de \(R\)): \[\{(1,2,0,0),\ (0,0,1,0),\ (0,0,0,1)\} \subset \mathbb{R}^4\]

Base do espaço coluna (colunas pivô 1, 3, 4 da matriz original \(A\)): \[\left\{\begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix},\ \begin{bmatrix}1\\0\\2\end{bmatrix},\ \begin{bmatrix}3\\4\\5\end{bmatrix}\right\} \subset \mathbb{R}^3\]

  • Como \(\mathrm{posto}(A)=3=\) número de linhas de \(A\), o espaço coluna é todo o \(\mathbb{R}^3\).
  • Verificação final: \(\mathrm{posto}(A)+\mathrm{nul}(A) = 3+1 = 4 = n\) ✓.

Resumo da aula

  • 14.1 — Espaço linha \(R(A^T)\subset\mathbb{R}^n\), espaço coluna \(R(A)\subset\mathbb{R}^m\), núcleo \(N(A)\subset\mathbb{R}^n\).
  • 14.2 — Operações de linha preservam o espaço linha, mas não o espaço coluna.
  • 14.3 — Base do espaço linha: linhas não nulas da forma escalonada. Base do espaço coluna: colunas pivô da matriz original.
  • 14.4 — Posto = \(\dim(R(A))=\dim(R(A^T))\); nulidade = \(\dim(N(A))\); teorema do posto: \(\mathrm{posto}+\mathrm{nul}=n\).
  • 14.5 — Exemplo \(3\times4\): posto 3, nulidade 1, todas as bases obtidas da mesma forma escalonada.

Referências

  • ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra Linear com Aplicações. 10ª ed. Seção 4.7 — Posto, Nulidade e os Espaços Fundamentais de uma Matriz.
  • LAY, D. Álgebra Linear e suas Aplicações. 4ª ed. Seção 4.6 — Posto.
  • STRANG, G. Álgebra Linear e suas Aplicações. 4ª ed. Seção 3.3 — O Posto de uma Matriz.