Álgebra Linear

Coordenadas e Mudança de Base

Prof. Dr. Raphael Teixeira

Universidade Federal do Pará

Sumário

  • 15.1 Vetor de coordenadas em relação a uma base
  • 15.2 Matriz de mudança de base
  • 15.3 Exemplo completo de mudança de base em \(\mathbb{R}^2\)
  • 15.4 Caso especial: base canônica
  • 15.5 Aplicação em engenharia

15.1 — Vetor de coordenadas

Definição

Definição

Seja \(B=\{v_1,\ldots,v_n\}\) base ordenada de \(V\). Se \[v = c_1v_1+c_2v_2+\cdots+c_nv_n,\] o vetor de coordenadas de \(v\) em relação a \(B\) é \[[v]_B = (c_1,c_2,\ldots,c_n).\]

  • Como \(B\) é base, os \(c_i\) existem e são únicos para cada \(v\).
  • \([v]_B\) depende da ordem dos vetores em \(B\) — por isso “base ordenada”.

Exemplo — coordenadas em base não canônica de \(\mathbb{R}^2\)

Seja \(B=\{b_1,b_2\}=\{(1,1),\,(1,-1)\}\) (base de \(\mathbb{R}^2\), pois \(\det\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}=-2\neq0\)). Encontrar \([v]_B\) para \(v=(4,2)\).

Resolvemos \(c_1(1,1)+c_2(1,-1)=(4,2)\): \[\begin{cases}c_1+c_2=4\\ c_1-c_2=2\end{cases} \ \Longrightarrow\ 2c_1=6 \Rightarrow c_1=3,\quad c_2=4-3=1\]

Verificação: \(3(1,1)+1(1,-1)=(3,3)+(1,-1)=(4,2)\) ✓. Logo \([v]_B=(3,1)\).

15.2 — Matriz de mudança de base

Construção da matriz \(P_{B\to B'}\)

Definição

Sejam \(B=\{b_1,\ldots,b_n\}\) e \(B'\) duas bases ordenadas de \(V\). A matriz de mudança de base de \(B\) para \(B'\) é \[P_{B\to B'} = \Big[\ [b_1]_{B'}\ \ [b_2]_{B'}\ \ \cdots\ \ [b_n]_{B'}\ \Big]\] isto é, suas colunas são as coordenadas, na base \(B'\), de cada vetor de \(B\).

Como usar

\[[v]_{B'} = P_{B\to B'}\,[v]_B \qquad \text{para todo } v\in V.\]

  • Note a “inversão”: para converter coordenadas de \(B\) para \(B'\), escrevemos os vetores de \(B\) nas coordenadas de \(B'\).

15.3 — Exemplo completo em \(\mathbb{R}^2\)

Montando a matriz de mudança de base

Sejam \(B=\{(1,1),(1,-1)\}\) e \(B'=\{(2,1),(1,1)\}\) (verifica-se \(\det\begin{bmatrix}2&1\\1&1\end{bmatrix}=1\neq0\): \(B'\) é base).

Coordenadas de \(b_1=(1,1)\) em \(B'\): \(d_1(2,1)+d_2(1,1)=(1,1)\) \[\begin{cases}2d_1+d_2=1\\d_1+d_2=1\end{cases}\Rightarrow d_1=0,\ d_2=1 \Rightarrow [b_1]_{B'}=(0,1)\]

Coordenadas de \(b_2=(1,-1)\) em \(B'\): \(d_1(2,1)+d_2(1,1)=(1,-1)\) \[\begin{cases}2d_1+d_2=1\\d_1+d_2=-1\end{cases}\Rightarrow d_1=2,\ d_2=-3 \Rightarrow [b_2]_{B'}=(2,-3)\]

\[P_{B\to B'} = \begin{bmatrix}0&2\\1&-3\end{bmatrix}\]

Aplicando a mudança de base

Do exemplo da Seção 15.1: \(v=(4,2)\) tem \([v]_B=(3,1)\). Calculamos \([v]_{B'}\):

\[[v]_{B'} = P_{B\to B'}[v]_B = \begin{bmatrix}0&2\\1&-3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0(3)+2(1)\\1(3)-3(1)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2\\0\end{bmatrix}\]

Verificação direta: \(d_1(2,1)+d_2(1,1)=(4,2) \Rightarrow 2d_1+d_2=4,\ d_1+d_2=2 \Rightarrow d_1=2,\ d_2=0\).

\[[v]_{B'}=(2,0) \ \checkmark \quad \text{coincide exatamente com o resultado via } P_{B\to B'}.\]

15.4 — Caso especial: base canônica

De/para a base canônica

Seja \(E=\{e_1,e_2\}\) a base canônica e \(B=\{(1,1),(1,-1)\}\) como antes.

  • \(P_{B\to E}\) é imediata: suas colunas são os próprios vetores de \(B\) (coordenadas na base canônica = as próprias componentes): \[P_{B\to E} = \begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}\]

  • \(P_{E\to B}\) é a inversa: \(P_{E\to B} = (P_{B\to E})^{-1}\).

\[P_{E\to B} = \frac{1}{\det}\begin{bmatrix}-1&-1\\-1&1\end{bmatrix} = \frac{1}{-2}\begin{bmatrix}-1&-1\\-1&1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\tfrac12&\tfrac12\\ \tfrac12&-\tfrac12\end{bmatrix}\]

Verificação direta de \(P_{E\to B}\)

Calculando \([e_1]_B\) e \([e_2]_B\) diretamente: \(c_1(1,1)+c_2(1,-1)=(1,0)\)

\[\begin{cases}c_1+c_2=1\\c_1-c_2=0\end{cases}\Rightarrow c_1=c_2=\tfrac12 \Rightarrow [e_1]_B=\left(\tfrac12,\tfrac12\right)\]

Analogamente, \([e_2]_B=\left(\tfrac12,-\tfrac12\right)\). Logo \[P_{E\to B}=\begin{bmatrix}\tfrac12&\tfrac12\\\tfrac12&-\tfrac12\end{bmatrix}\]

— exatamente a inversa calculada no slide anterior. Confirma: \(P_{E\to B}=(P_{B\to E})^{-1}\).

15.5 — Aplicação em engenharia

Mudança de referencial

  • Em engenharia, mudar de base é mudar de sistema de coordenadas/referencial.
  • Exemplos: rotacionar eixos para alinhar com a geometria de uma peça; converter coordenadas de um sensor (referencial local) para coordenadas globais (GPS, robótica); mudar de base para diagonalizar um problema (autovalores/autovetores — próximas aulas).
  • A matriz \(P_{B\to B'}\) desempenha exatamente o papel de “tradutor” entre dois referenciais — essencial em Mecânica, Controle, Computação Gráfica e Processamento de Sinais.

Resumo da aula

  • 15.1 — \([v]_B=(c_1,\ldots,c_n)\): coeficientes únicos de \(v\) na base ordenada \(B\).
  • 15.2 — \(P_{B\to B'}\): colunas são \([b_i]_{B'}\); uso: \([v]_{B'}=P_{B\to B'}[v]_B\).
  • 15.3 — Exemplo completo em \(\mathbb{R}^2\) entre duas bases não canônicas, verificado por dois métodos.
  • 15.4 — \(P_{B\to E}\) tem colunas = vetores de \(B\); \(P_{E\to B}=(P_{B\to E})^{-1}\).
  • 15.5 — Mudança de base = mudança de referencial, ferramenta central em diversas áreas da engenharia.

Referências

  • ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra Linear com Aplicações. 10ª ed. Seção 4.5 — Espaços de Coordenadas e Mudança de Base.
  • LAY, D. Álgebra Linear e suas Aplicações. 4ª ed. Seção 4.4 — Sistemas de Coordenadas.
  • STRANG, G. Álgebra Linear e suas Aplicações. 4ª ed. Seção 3.4 — Bases e Mudança de Base.