Álgebra Linear

Transformações Lineares: Definição e Exemplos

Prof. Dr. Raphael Teixeira

Universidade Federal do Pará

Sumário

16.1 Definição de transformação linear e primeira consequência
16.2 Exemplos fundamentais
16.3 Um contraexemplo importante
16.4 A matriz canônica

16.1 — Definição

Transformação linear — definição

Definição

Sejam \(V,W\) espaços vetoriais. Uma função \(T:V\to W\) é uma transformação linear quando, para todo \(u,v\in V\) e todo escalar \(c\):

\(T(u+v) = T(u)+T(v)\) (preserva a soma)
\(T(cv) = c\,T(v)\) (preserva a multiplicação por escalar)

Equivalentemente: \(T(cu+dv) = cT(u)+dT(v)\) para quaisquer escalares \(c,d\).
\(V\) é o domínio, \(W\) é o contradomínio de \(T\).

Consequência imediata: \(T(0)=0\)

Teorema

Se \(T:V\to W\) é linear, então \[T(0) = 0.\]

Prova: \(T(0) = T(0\cdot v) = 0\cdot T(v) = 0\).

Teste rápido de não linearidade

Se \(T(0)\neq 0\), então \(T\) não é linear. (Cuidado: a recíproca é falsa — \(T(0)=0\) não garante que \(T\) seja linear.)

16.2 — Exemplos fundamentais

Exemplo — identidade e transformação nula

Identidade: \(T:V\to V\), \(T(v)=v\). \[T(u+v)=u+v=T(u)+T(v), \qquad T(cv)=cv=cT(v)\]
Transformação nula: \(T:V\to W\), \(T(v)=0\) para todo \(v\in V\). Também linear (verificação imediata, ambos os lados dão \(0\)).

Exemplo — projeção sobre o eixo \(x\) em \(\mathbb{R}^2\)

\[T(x,y) = (x,0)\]

Matriz associada: \(A=\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}\), pois \(A\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x\\0\end{bmatrix}\).

Verificação: \[T\big((x_1,y_1)+(x_2,y_2)\big) = (x_1+x_2,\,0) = T(x_1,y_1)+T(x_2,y_2)\] \[T\big(c(x,y)\big)=(cx,0)=c\,T(x,y)\]

Exemplo — rotação em \(\mathbb{R}^2\)

Rotacionar cada vetor por um ângulo \(\theta\) (sentido anti-horário): \[T(x,y) = (x\cos\theta - y\sin\theta,\ \ x\sin\theta + y\cos\theta)\]

É linear: cada componente da saída é uma combinação linear de \(x\) e \(y\) com coeficientes constantes (\(\cos\theta\), \(\sin\theta\)).
Estudaremos rotações, reflexões e escalas em detalhe na Aula 20.

Exemplo — multiplicação por matriz

Se \(A\) é uma matriz \(m\times n\) fixa, \[T(x) = Ax, \qquad T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\] é sempre linear: \[T(u+v) = A(u+v) = Au+Av = T(u)+T(v)\] \[T(cv) = A(cv) = c(Av) = cT(v)\]

Identidade, transformação nula, projeção e rotação são todos casos particulares deste exemplo!

Exemplo — derivação em polinômios e traço de matrizes

Derivação: \(T:P_2\to P_1\), \(T(p) = p'\).

Para \(p(x) = 3x^2-2x+1\): \[T(p) = 6x - 2\]

Linear pois \((p+q)' = p'+q'\) e \((cp)'=cp'\).

Traço: \(T:M_{2,2}\to\mathbb{R}\), \(T(A) = a_{11}+a_{22}=\mathrm{tr}(A)\).

Linear pois \(\mathrm{tr}(A+B)=\mathrm{tr}(A)+\mathrm{tr}(B)\) e \(\mathrm{tr}(cA)=c\,\mathrm{tr}(A)\).

16.3 — Um contraexemplo importante

\(T(x,y)=(x^2,y)\) não é linear

\[T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2, \qquad T(x,y) = (x^2,\ y)\]

Contraexemplo — T não é linear

Tome \(v=(1,1)\) e \(c=2\). Então \(cv=(2,2)\) e: \[T(cv) = T(2,2) = (4,2)\] \[c\,T(v) = 2\,T(1,1) = 2(1,1) = (2,2)\]

Como \((4,2)\neq(2,2)\), temos \(T(cv)\neq c\,T(v)\): \(T\) não é linear.

O termo \(x^2\) é a causa: transformações lineares só podem envolver combinações lineares das coordenadas de entrada.

16.4 — A matriz canônica

Toda transformação linear de \(\mathbb{R}^n\) em \(\mathbb{R}^m\) é matricial

Teorema — matriz canônica

Se \(T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\) é linear, existe uma única matriz \(A\), \(m\times n\), tal que \[T(x) = Ax \qquad \text{para todo } x\in\mathbb{R}^n.\] As colunas de \(A\) são as imagens dos vetores da base canônica \(\{e_1,\ldots,e_n\}\): \[A = \big[\ T(e_1)\ \ T(e_2)\ \ \cdots\ \ T(e_n)\ \big]\] \(A\) é chamada matriz canônica (ou matriz padrão) de \(T\).

Exemplo — construindo a matriz canônica

Seja \(T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\) dada por \(T(x,y,z) = (x+2y,\ y-z)\).

Calculando as imagens da base canônica \(\{e_1,e_2,e_3\}\): \[T(1,0,0)=(1,0), \qquad T(0,1,0)=(2,1), \qquad T(0,0,1)=(0,-1)\]

Logo: \[A = \begin{bmatrix}1&2&0\\0&1&-1\end{bmatrix}\]

Verificação: \[A\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x+2y\\y-z\end{bmatrix} = T(x,y,z)\ \checkmark\]

Resumo da aula

16.1 — \(T\) é linear quando preserva soma e multiplicação por escalar; consequência imediata \(T(0)=0\) serve de teste rápido de não linearidade.
16.2 — Identidade, transformação nula, projeção, rotação, \(T(x)=Ax\), derivação e traço são todos exemplos de transformações lineares.
16.3 — \(T(x,y)=(x^2,y)\) não é linear: termos não lineares (como \(x^2\)) quebram a definição.
16.4 — Toda TL \(\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\) é da forma \(T(x)=Ax\); a matriz canônica é obtida a partir das imagens dos vetores da base canônica.

Referências

Anton, H.; Rorres, C. Álgebra Linear com Aplicações. Capítulo sobre Transformações Lineares.
Lay, D. C. Álgebra Linear e suas Aplicações. Seções 1.8–1.9 e Capítulo 4.
Strang, G. Álgebra Linear e suas Aplicações. Capítulo sobre Transformações Lineares.