Álgebra Linear

Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear

Prof. Dr. Raphael Teixeira

Universidade Federal do Pará

Sumário

• 17.1 Núcleo e imagem: definições e primeiras propriedades
• 17.2 Conexão com os espaços fundamentais de uma matriz
• 17.3 Nulidade, posto e o Teorema do Núcleo e da Imagem
• 17.4 Exemplo numérico completo

17.1 — Núcleo e Imagem

Definições

Definição — Núcleo

Seja \(T:V\to W\) linear. O núcleo de \(T\) é \[\ker(T) = \{v\in V : T(v) = 0\} \ \subset V\]

Definição — Imagem

A imagem de \(T\) é \[\mathrm{Im}(T) = \{T(v) : v\in V\} \ \subset W\]

Núcleo e imagem são subespaços

Teorema

Se \(T:V\to W\) é linear, então:

1. \(\ker(T)\) é subespaço de \(V\);
2. \(\mathrm{Im}(T)\) é subespaço de \(W\).

• Ambos contêm o vetor nulo, pois \(T(0)=0\) (Aula 16).
• Fechamento sob soma e escala decorre diretamente da linearidade de \(T\): se \(T(u)=T(v)=0\), então \(T(u+v)=T(u)+T(v)=0\) e \(T(cu)=cT(u)=0\); analogamente para a imagem.

17.2 — Conexão com os espaços fundamentais

Se \(T(x)=Ax\): núcleo e imagem via \(N(A)\) e \(R(A)\)

Se \(T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\) tem matriz canônica \(A\) (Aula 16), então:

\[\ker(T) = \{x : Ax=0\} = N(A) \qquad \text{(espaço nulo de } A\text{)}\]

\[\mathrm{Im}(T) = \{Ax : x\in\mathbb{R}^n\} = R(A) \qquad \text{(espaço-coluna de } A\text{)}\]

• Tudo que já sabemos sobre \(N(A)\) e \(R(A)\) (Aula 14) se aplica diretamente ao núcleo e à imagem de \(T\): para calcular \(\ker(T)\), resolvemos \(Ax=0\); para calcular \(\mathrm{Im}(T)\), encontramos uma base do espaço gerado pelas colunas de \(A\).

17.3 — Nulidade, posto e o Teorema do Núcleo e da Imagem

Nulidade e posto de uma transformação linear

Definição

\[\text{nulidade}(T) = \dim\ker(T), \qquad \mathrm{posto}(T) = \dim\mathrm{Im}(T)\]

Teorema do Núcleo e da Imagem

Se \(T:V\to W\) é linear e \(\dim V\) é finita, então \[\dim\ker(T) + \dim\mathrm{Im}(T) = \dim V\]

Transformações injetoras e sobrejetoras

Definições

\(T\) é injetora quando \(\ker(T)=\{0\}\) (nenhum vetor não nulo é levado a zero).

\(T\) é sobrejetora quando \(\mathrm{Im}(T) = W\).

Casos especiais em dimensão finita

• Se \(\dim V = \dim W = n\) (finita): pelo Teorema do Núcleo e da Imagem, \(\dim\ker T = 0 \iff \dim\mathrm{Im}\,T = n\). Logo \[T \text{ injetora} \iff T \text{ sobrejetora} \iff T \text{ bijetora (isomorfismo)}\]
• Se \(\dim V > \dim W\): \(T\) nunca pode ser injetora.
• Se \(\dim V < \dim W\): \(T\) nunca pode ser sobrejetora.

17.4 — Exemplo completo

Exemplo — a transformação e sua matriz

Seja \(T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\), \(T(x)=Ax\), com \[A = \begin{bmatrix}1&2&-1\\2&4&1\\1&2&2\end{bmatrix}\]

Vamos calcular \(\ker(T)\), \(\mathrm{Im}(T)\), e classificar \(T\) quanto à injetividade e sobrejetividade.

Exemplo — cálculo do núcleo

Escalonando \([A\mid 0]\): \[\begin{bmatrix}1&2&-1\\2&4&1\\1&2&2\end{bmatrix} \xrightarrow[L_3-L_1]{L_2-2L_1} \begin{bmatrix}1&2&-1\\0&0&3\\0&0&3\end{bmatrix}\xrightarrow{L_3-L_2}\begin{bmatrix}1&2&-1\\0&0&3\\0&0&0\end{bmatrix}\]

Da 2ª linha: \(3x_3=0 \Rightarrow x_3=0\). Da 1ª linha: \(x_1=-2x_2\). Com \(x_2=t\) livre: \[\ker(T) = \{\,t(-2,1,0)\ :\ t\in\mathbb{R}\,\} = \mathrm{span}\{(-2,1,0)\}\]

\(\dim\ker(T)=1\) (nulidade \(=1\)).

Exemplo — cálculo da imagem

As colunas de \(A\) são \((1,2,1)\), \((2,4,2)\) e \((-1,1,2)\). Como a coluna \(2\) é \(2\times\) a coluna \(1\), o espaço-coluna é gerado pelas colunas \(1\) e \(3\), que são linearmente independentes: \[\mathrm{Im}(T) = \mathrm{span}\{(1,2,1),\ (-1,1,2)\}\]

\(\dim\mathrm{Im}(T) = 2\) (posto \(=2\)).

Verificação (Teorema do Núcleo e da Imagem): \[\dim\ker(T)+\dim\mathrm{Im}(T) = 1+2 = 3 = \dim\mathbb{R}^3 \ \checkmark\]

Exemplo — classificação

• \(\ker(T)\neq\{0\}\) \(\ \Rightarrow\ \) \(T\) não é injetora.
• \(\dim\mathrm{Im}(T) = 2 < 3 = \dim\mathbb{R}^3\) \(\ \Rightarrow\ \) \(T\) não é sobrejetora.

Resumo da aula

• 17.1 — \(\ker(T)\) e \(\mathrm{Im}(T)\) são subespaços de \(V\) e \(W\), respectivamente.
• 17.2 — Se \(T(x)=Ax\): \(\ker(T)=N(A)\) e \(\mathrm{Im}(T)=R(A)\).
• 17.3 — Nulidade \(+\) posto \(=\dim V\); injetora \(\iff \ker T=\{0\}\); sobrejetora \(\iff \mathrm{Im}\,T = W\); em dimensões iguais, injetora \(\iff\) sobrejetora.
• 17.4 — Exemplo com \(A\) \(3\times3\): núcleo de dimensão \(1\), imagem de dimensão \(2\) — \(T\) não é injetora nem sobrejetora.

Referências

• Anton, H.; Rorres, C. Álgebra Linear com Aplicações. Capítulo sobre Transformações Lineares.
• Lay, D. C. Álgebra Linear e suas Aplicações. Capítulo 4.
• Strang, G. Álgebra Linear e suas Aplicações. Capítulo sobre espaços fundamentais e Transformações Lineares.