Álgebra Linear

Matriz de uma Transformação Linear (em relação a bases)

Prof. Dr. Raphael Teixeira

Universidade Federal do Pará

Sumário

• 18.1 Motivação: além da matriz canônica
• 18.2 Definição: matriz de \(T\) em relação a bases
• 18.3 Exemplo — derivada em polinômios (bases canônicas)
• 18.4 Exemplo — bases não canônicas em \(\mathbb{R}^2\)
• 18.5 Caso particular: operadores lineares

18.1 — Motivação

Por que generalizar a matriz canônica?

• Na Aula 16, vimos que toda TL \(T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\) tem uma matriz canônica, construída a partir da base canônica.
• E se quisermos representar \(T\) usando outras bases de \(V\) e \(W\) — inclusive quando \(V,W\) não são \(\mathbb{R}^n\) (por exemplo, polinômios ou matrizes)?
• Resposta: a mesma ideia funciona, desde que troquemos “base canônica” por “base escolhida”.

18.2 — Definição

Matriz de \(T\) em relação às bases \(B,B'\)

Definição

Sejam \(B=\{v_1,\ldots,v_n\}\) base de \(V\) e \(B'=\{w_1,\ldots,w_m\}\) base de \(W\), e \(T:V\to W\) linear. A matriz de \(T\) em relação a \(B,B'\), denotada \([T]_B^{B'}\), é a matriz \(m\times n\) cuja \(i\)-ésima coluna é o vetor de coordenadas \([T(v_i)]_{B'}\): \[[T]_B^{B'} = \Big[\ [T(v_1)]_{B'}\ \ [T(v_2)]_{B'}\ \ \cdots\ \ [T(v_n)]_{B'}\ \Big]\]

Como usar a matriz \([T]_B^{B'}\)

Teorema

Para todo \(v\in V\): \[[T(v)]_{B'} = [T]_B^{B'}\,[v]_B\]

• Multiplicar \([T]_B^{B'}\) pelas coordenadas de \(v\) na base \(B\) dá as coordenadas de \(T(v)\) na base \(B'\).
• Quando \(B,B'\) são as bases canônicas de \(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^m\): recuperamos a matriz canônica da Aula 16.

18.3 — Exemplo: derivada em polinômios

Exemplo — bases canônicas de \(P_2\) e \(P_1\)

Seja \(T:P_2\to P_1\), \(T(p)=p'\) (derivada). Usando as bases canônicas \(B=\{1,x,x^2\}\) de \(P_2\) e \(B'=\{1,x\}\) de \(P_1\):

\[T(1)=0, \qquad T(x)=1, \qquad T(x^2)=2x\]

Coordenadas em \(B'=\{1,x\}\): \[[T(1)]_{B'}=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix},\qquad [T(x)]_{B'}=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},\qquad [T(x^2)]_{B'}=\begin{bmatrix}0\\2\end{bmatrix}\]

\[[T]_B^{B'} = \begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&2\end{bmatrix}\]

Exemplo — usando a matriz para calcular \(T(p)\)

Seja \(p(x) = 3x^2-2x+5\), isto é, \([p]_B=\begin{bmatrix}5\\-2\\3\end{bmatrix}\) (ordem \(1,x,x^2\)).

\[[T(p)]_{B'} = \begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}5\\-2\\3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-2\\6\end{bmatrix}\]

Logo \(T(p) = -2(1)+6(x) = 6x-2\), que confere com a derivada direta \(p'(x)=6x-2\). \(\checkmark\)

18.4 — Exemplo com bases não canônicas

A transformação e sua matriz canônica

Seja \(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\), \(T(x,y)=(x+y,\ x-y)\). Na base canônica: \[A = [T] = \begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}\]

Vamos agora representar a mesma \(T\) usando bases não canônicas em \(V\) e em \(W\).

Mudando para bases não canônicas \(B\) e \(B'\)

Escolha \(B=\{v_1,v_2\}=\{(1,1),(1,0)\}\) em \(V=\mathbb{R}^2\) e \(B'=\{w_1,w_2\}=\{(1,1),(1,-1)\}\) em \(W=\mathbb{R}^2\).

\[T(v_1)=T(1,1)=(2,0), \qquad T(v_2)=T(1,0)=(1,1)\]

Resolvendo \((2,0)=a\,w_1+b\,w_2\) e \((1,1)=c\,w_1+d\,w_2\): obtém-se \(a=b=1\) e \(c=1,\ d=0\).

\[[T]_B^{B'} = \begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}\]

Comparação e verificação

\[[T] = \begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix} \ \text{(base canônica)} \quad\neq\quad [T]_B^{B'}=\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix} \ \text{(bases }B,B'\text{)}\]

Mesma transformação, matrizes diferentes.

Verificação: para \(v=2v_1+3v_2=(5,2)\), temos \([v]_B=(2,3)\): \[[T]_B^{B'}[v]_B = \begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\\2\end{bmatrix}\]

De fato, \(T(5,2)=(7,3) = 5w_1+2w_2 = 5(1,1)+2(1,-1)=(7,3)\), logo \([T(v)]_{B'}=(5,2)\). \(\checkmark\)

18.5 — Caso particular: operadores lineares

Operador \(T:V\to V\) com uma única base

Definição

Quando \(T:V\to V\) (um operador linear) e usamos a mesma base \(B\) no domínio e no contradomínio, escreve-se simplesmente \([T]_B\) (em vez de \([T]_B^B\)).

Exemplo — operador com matriz diagonal numa base especial

Seja \(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\), \(T(x,y)=(2x+y,\ x+2y)\), e \(B=\{v_1,v_2\}=\{(1,1),(1,-1)\}\).

\[T(1,1)=(3,3)=3v_1+0v_2, \qquad T(1,-1)=(1,-1)=0v_1+1v_2\]

\[[T]_B = \begin{bmatrix}3&0\\0&1\end{bmatrix}\]

• Notável: na base canônica, \([T]=\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}\) (não diagonal); na base \(B\), \([T]_B\) é diagonal! Isso antecipa a ideia de diagonalização, que veremos em aulas futuras.

Resumo da aula

• 18.1–18.2 — Generalização da matriz canônica: \([T]_B^{B'}\) tem colunas \([T(v_i)]_{B'}\); usa-se via \([T(v)]_{B'}=[T]_B^{B'}[v]_B\).
• 18.3 — Exemplo: derivada em polinômios com bases canônicas de \(P_2\) e \(P_1\).
• 18.4 — A matriz de \(T\) depende da escolha de bases: mesma transformação, matrizes diferentes.
• 18.5 — Para operadores \(T:V\to V\) com a mesma base, escreve-se \([T]_B\); a escolha certa de base pode simplificar drasticamente a matriz (por exemplo, torná-la diagonal).

Referências

• Anton, H.; Rorres, C. Álgebra Linear com Aplicações. Capítulo sobre Transformações Lineares.
• Lay, D. C. Álgebra Linear e suas Aplicações. Seção sobre a matriz de uma transformação linear.
• Strang, G. Álgebra Linear e suas Aplicações. Capítulo sobre mudança de base.