Álgebra Linear

Composição e Inversa de Transformações Lineares; Mudança de Base de Operadores

Prof. Dr. Raphael Teixeira

Universidade Federal do Pará

Sumário

• 19.1 Composição de transformações lineares
• 19.2 Transformações invertíveis
• 19.3 Isomorfismos
• 19.4 Mudança de base de um operador

19.1 — Composição

Composição de transformações lineares

Definição

Sejam \(T_1:U\to V\) e \(T_2:V\to W\) lineares. A composição \(T_2\circ T_1:U\to W\) é definida por \[(T_2\circ T_1)(u) = T_2\big(T_1(u)\big)\]

Teorema

Se \(T_1\) e \(T_2\) são lineares, então \(T_2\circ T_1\) também é linear.

Matriz da composição

Teorema — matriz da composição

Sejam \(T_1:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\) e \(T_2:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^p\) com matrizes canônicas \([T_1]\) e \([T_2]\). Então a matriz canônica de \(T_2\circ T_1\) é \[[T_2\circ T_1] = [T_2]\,[T_1]\]

• A ordem importa: \([T_2][T_1]\), e não \([T_1][T_2]\) — a composição \(T_2\circ T_1\) aplica \(T_1\) primeiro.

Exemplo numérico — composição de duas transformações

Seja \(T_1:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\) a rotação de \(90^\circ\), \([T_1]=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}\), e \(T_2:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\) a escala \([T_2]=\begin{bmatrix}2&0\\0&3\end{bmatrix}\).

\[[T_2\circ T_1] = [T_2][T_1] = \begin{bmatrix}2&0\\0&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0&-2\\3&0\end{bmatrix}\]

Aplicando a \(v=(1,0)\): \(T_1(1,0)=(0,1)\) (rotação), depois \(T_2(0,1)=(0,3)\) (escala). Direto: \(\begin{bmatrix}0&-2\\3&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\3\end{bmatrix}\) \(\checkmark\)

Note que \([T_1][T_2] = \begin{bmatrix}0&-3\\2&0\end{bmatrix} \neq [T_2][T_1]\): a ordem da composição importa!

19.2 — Transformações invertíveis

Invertibilidade

Teorema

Uma transformação linear \(T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n\) é invertível se, e somente se, é bijetora, se e somente se sua matriz canônica \([T]\) é invertível (\(\det[T]\neq0\)). Nesse caso, \(T^{-1}\) é linear e \[[T^{-1}] = [T]^{-1}\]

• Equivalências úteis para \(T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n\) (Aula 17): \(T\) injetora \(\iff\) \(T\) sobrejetora \(\iff\) \(\det[T]\neq 0\).

Exemplo — calculando \(T^{-1}\) em \(\mathbb{R}^2\)

Seja \(T(x,y) = (2x+y,\ x+2y)\), com \([T]=\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}\).

\(\det[T] = 4-1 = 3\neq 0 \ \Rightarrow\ T\) é invertível.

\[[T]^{-1} = \frac{1}{3}\begin{bmatrix}2&-1\\-1&2\end{bmatrix}\]

Logo \(T^{-1}(x,y) = \left(\dfrac{2x-y}{3},\ \dfrac{-x+2y}{3}\right)\).

Verificação: \[[T][T]^{-1} = \begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}\cdot\frac13\begin{bmatrix}2&-1\\-1&2\end{bmatrix} = \frac13\begin{bmatrix}3&0\\0&3\end{bmatrix}=I\]

19.3 — Isomorfismos

Isomorfismo entre espaços de mesma dimensão finita

Definição

\(T:V\to W\) é um isomorfismo quando é linear e bijetora (invertível). Dizemos então que \(V\) e \(W\) são isomorfos.

Teorema

Todo espaço vetorial \(V\) de dimensão finita \(n\) é isomorfo a \(\mathbb{R}^n\): fixada uma base \(B=\{v_1,\ldots,v_n\}\) de \(V\), a aplicação coordenada \(v\mapsto[v]_B\) é um isomorfismo \(V\to\mathbb{R}^n\).

• Exemplo: \(P_2\) (polinômios de grau \(\le 2\)) é isomorfo a \(\mathbb{R}^3\) via \(a_0+a_1x+a_2x^2 \mapsto (a_0,a_1,a_2)\). Soma e multiplicação por escalar em \(P_2\) correspondem exatamente às mesmas operações em \(\mathbb{R}^3\).

19.4 — Mudança de base de um operador

Motivação e fórmula

• A matriz \([T]_B\) de um operador \(T:V\to V\) depende da base \(B\) escolhida (Aula 18).
• Pergunta natural: como relacionar \([T]_B\) e \([T]_{B'}\) para duas bases diferentes \(B,B'\) de \(V\)?

Teorema — mudança de base de um operador

Sejam \(B,B'\) bases de \(V\) e \(P\) a matriz cujas colunas são os vetores de \(B'\) expressos em coordenadas de \(B\) (de modo que \([v]_B = P[v]_{B'}\) para todo \(v\)). Então \[[T]_{B'} = P^{-1}\,[T]_B\,P\]

• Diz-se que \([T]_B\) e \([T]_{B'}\) são matrizes semelhantes — retomaremos essa ideia ao estudar autovalores e diagonalização.

Exemplo completo — mudança de base de um operador em \(\mathbb{R}^2\)

Retomando \(T(x,y)=(2x+y,\ x+2y)\), com \([T] = \begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}\) na base canônica \(B\), e a nova base \(B'=\{(1,1),(1,-1)\}\).

\[P = \begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}, \qquad P^{-1} = \begin{bmatrix}\tfrac12&\tfrac12\\[2pt]\tfrac12&-\tfrac12\end{bmatrix}\]

\[[T]_{B'} = P^{-1}[T]P = \begin{bmatrix}\tfrac12&\tfrac12\\[2pt]\tfrac12&-\tfrac12\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3&0\\0&1\end{bmatrix}\]

• Confere exatamente com o resultado obtido diretamente na Aula 18: na base \(B'\), o operador tem matriz diagonal.

Resumo da aula

• 19.1 — Composição de TLs é linear; matriz da composição é o produto \([T_2\circ T_1]=[T_2][T_1]\) (ordem importa).
• 19.2 — \(T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n\) é invertível \(\iff\) bijetora \(\iff\) \([T]\) invertível; \([T^{-1}]=[T]^{-1}\).
• 19.3 — Todo espaço de dimensão finita \(n\) é isomorfo a \(\mathbb{R}^n\) via a aplicação coordenada.
• 19.4 — Mudança de base de um operador: \([T]_{B'}=P^{-1}[T]_BP\); matrizes semelhantes representam o mesmo operador em bases diferentes.

Referências

• Anton, H.; Rorres, C. Álgebra Linear com Aplicações. Capítulo sobre Transformações Lineares.
• Lay, D. C. Álgebra Linear e suas Aplicações. Seções sobre composição, invertibilidade e matrizes semelhantes.
• Strang, G. Álgebra Linear e suas Aplicações. Capítulo sobre mudança de base e semelhança de matrizes.