Álgebra Linear

Transformações Geométricas no Plano e no Espaço

Prof. Dr. Raphael Teixeira

Universidade Federal do Pará

Sumário

• 20.1 Rotação em \(\mathbb{R}^2\)
• 20.2 Reflexões em \(\mathbb{R}^2\)
• 20.3 Escala e cisalhamento
• 20.4 Composição de transformações geométricas
• 20.5 Aplicação: transformando um polígono

20.1 — Rotação em \(\mathbb{R}^2\)

Matriz de rotação

Definição

A rotação de ângulo \(\theta\) (sentido anti-horário), em torno da origem, tem matriz canônica \[R_\theta = \begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}\]

• Obtida como na Aula 16: \(R_\theta e_1 = (\cos\theta,\sin\theta)\), \(R_\theta e_2=(-\sin\theta,\cos\theta)\).

Exemplo — rotação de \(90^\circ\)

\[R_{90^\circ} = \begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}\]

Aplicando a \(v=(2,1)\): \[R_{90^\circ}v = \begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}\]

Exemplo — rotação de \(45^\circ\)

\[R_{45^\circ} = \begin{bmatrix}\tfrac{\sqrt2}{2}&-\tfrac{\sqrt2}{2}\\[4pt]\tfrac{\sqrt2}{2}&\tfrac{\sqrt2}{2}\end{bmatrix}\]

Aplicando a \(v=(1,1)\): \[R_{45^\circ}v = \begin{bmatrix}\tfrac{\sqrt2}{2}&-\tfrac{\sqrt2}{2}\\[4pt]\tfrac{\sqrt2}{2}&\tfrac{\sqrt2}{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\\sqrt2\end{bmatrix}\]

O quadrado unitário (pontilhado) gira \(45^\circ\) e vira o “losango” (contorno colorido); o vértice \((1,1)\) vai para \((0,\sqrt2)\).

20.2 — Reflexões em \(\mathbb{R}^2\)

As três reflexões — matrizes

Definição

\[\text{eixo } x:\ \begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix} \qquad \text{eixo } y:\ \begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix} \qquad \text{reta } y=x:\ \begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\]

• Reflexão no eixo \(x\): \((x,y)\mapsto(x,-y)\).
• Reflexão no eixo \(y\): \((x,y)\mapsto(-x,y)\).
• Reflexão na reta \(y=x\): \((x,y)\mapsto(y,x)\).

Exemplos — aplicando as três reflexões

Para \(v=(3,2)\):

\[\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\-2\end{bmatrix} \qquad \begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-3\\2\end{bmatrix} \qquad \begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}\]

• Reflexão no eixo \(x\): \((3,2)\to(3,-2)\).
• Reflexão no eixo \(y\): \((3,2)\to(-3,2)\).
• Reflexão em \(y=x\): \((3,2)\to(2,3)\).

20.3 — Escala e cisalhamento

Escala (expansão/contração)

Definição

\[\begin{bmatrix}k_1&0\\0&k_2\end{bmatrix}: \quad (x,y)\mapsto(k_1x,\ k_2y)\]

• \(k_i>1\): expansão na direção do eixo; \(0<k_i<1\): contração; \(k_i<0\): inverte o sentido.

Exemplo: \(k_1=2\), \(k_2=\tfrac12\), aplicado a \(v=(4,6)\): \[\begin{bmatrix}2&0\\0&\tfrac12\end{bmatrix}\begin{bmatrix}4\\6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}8\\3\end{bmatrix}\]

Cisalhamento (shear)

Definição

Cisalhamento horizontal de fator \(k\): \[\begin{bmatrix}1&k\\0&1\end{bmatrix}: \quad (x,y)\mapsto(x+ky,\ y)\]

Exemplo: \(k=\tfrac12\), aplicado a \(v=(1,1)\): \[\begin{bmatrix}1&\tfrac12\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\tfrac32\\1\end{bmatrix}\]

• Retas horizontais permanecem fixas; retas verticais “inclinam” proporcionalmente à altura \(y\).

20.4 — Composição de transformações geométricas

Rotação seguida de escala

Seja \(T_1=R_{45^\circ}\) e \(T_2\) a escala \(\begin{bmatrix}2&0\\0&1\end{bmatrix}\) (estica o eixo \(x\)).

\[[T_2\circ T_1] = [T_2][T_1] = \begin{bmatrix}2&0\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\tfrac{\sqrt2}{2}&-\tfrac{\sqrt2}{2}\\[4pt]\tfrac{\sqrt2}{2}&\tfrac{\sqrt2}{2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\sqrt2&-\sqrt2\\[2pt]\tfrac{\sqrt2}{2}&\tfrac{\sqrt2}{2}\end{bmatrix}\]

Aplicando a \(v=(1,0)\): primeiro \(T_1(1,0)=\left(\tfrac{\sqrt2}{2},\tfrac{\sqrt2}{2}\right)\) (gira \(45^\circ\)), depois \(T_2\left(\tfrac{\sqrt2}{2},\tfrac{\sqrt2}{2}\right)=\left(\sqrt2,\tfrac{\sqrt2}{2}\right)\) (estica em \(x\)).

Direto pela matriz composta: \[\begin{bmatrix}\sqrt2&-\sqrt2\\[2pt]\tfrac{\sqrt2}{2}&\tfrac{\sqrt2}{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\sqrt2\\[2pt]\tfrac{\sqrt2}{2}\end{bmatrix} \ \checkmark\]

20.5 — Aplicação: transformando um polígono

Exemplo — triângulo sob rotação de \(90^\circ\)

Triângulo com vértices \(A=(1,0)\), \(B=(3,0)\), \(C=(1,2)\). Aplicando \(R_{90^\circ}:(x,y)\mapsto(-y,x)\):

Vértice	Antes	Depois de \(R_{90^\circ}\)
\(A\)	\((1,0)\)	\((0,1)\)
\(B\)	\((3,0)\)	\((0,3)\)
\(C\)	\((1,2)\)	\((-2,1)\)

• O triângulo gira \(90^\circ\) em torno da origem, preservando forma e área (rotações são isometrias).

Exemplo — mesmo triângulo sob reflexão em \(y=x\)

Aplicando agora a reflexão \((x,y)\mapsto(y,x)\) ao mesmo triângulo original:

Vértice	Antes	Depois de refletir em \(y=x\)
\(A\)	\((1,0)\)	\((0,1)\)
\(B\)	\((3,0)\)	\((0,3)\)
\(C\)	\((1,2)\)	\((2,1)\)

• Note que \(A\) e \(B\) vão para os mesmos pontos que na rotação de \(90^\circ\), mas \(C\) vai para \((2,1)\), diferente de \((-2,1)\): rotação e reflexão são transformações geometricamente distintas, mesmo coincidindo em alguns pontos.
• Aplicações em computação gráfica: qualquer objeto poligonal é transformado aplicando a matriz a cada vértice individualmente.

Resumo da aula

• 20.1 — Rotação: \(R_\theta=\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}\).
• 20.2 — Reflexões nos eixos \(x\), \(y\) e na reta \(y=x\): três matrizes simples e específicas.
• 20.3 — Escala (matriz diagonal) e cisalhamento (matriz triangular com \(1\)’s na diagonal).
• 20.4 — Composição de transformações geométricas via produto de matrizes (a ordem importa).
• 20.5 — Transformar um polígono é transformar cada vértice individualmente pela matriz da transformação — base da computação gráfica.

Referências

• Anton, H.; Rorres, C. Álgebra Linear com Aplicações. Capítulo sobre transformações geométricas do plano.
• Lay, D. C. Álgebra Linear e suas Aplicações. Seção sobre transformações lineares geométricas.
• Strang, G. Álgebra Linear e suas Aplicações. Capítulo sobre transformações e computação gráfica.