Álgebra Linear

Autovalores, Autovetores e Polinômio Característico

Prof. Dr. Raphael Teixeira

Universidade Federal do Pará

21.1 — Autovalores e autovetores

Motivação: direções que não mudam

Uma transformação \(A\) gira, estica e deforma vetores em geral.
Mas existem direções especiais \(v\neq 0\) tais que \(Av\) é apenas \(v\) esticado ou encolhido: \(Av=\lambda v\).
Para \(u\) genérico, \(Au\) aponta para uma direção diferente de \(u\) — não é o caso especial que buscamos.

Definição — autovalor e autovetor

Definição

Seja \(A\) uma matriz \(n\times n\). Um escalar \(\lambda\) é um autovalor de \(A\) se existe um vetor \(v\neq 0\) em \(\mathbb{R}^n\) tal que \[Av = \lambda v.\] O vetor \(v\) é um autovetor de \(A\) associado a \(\lambda\).

Geometricamente: \(A\) atua sobre \(v\) como uma simples multiplicação por escalar.
Se \(|\lambda|>1\): \(v\) é esticado. Se \(0<|\lambda|<1\): \(v\) é encolhido. Se \(\lambda<0\): além de escalar, inverte o sentido.

Equação característica

Reescrevendo \(Av=\lambda v\) como \(Av-\lambda v = 0\), ou seja, \((A-\lambda I)v=0\):

Esse sistema homogêneo tem solução não trivial \(v\neq 0\) se e somente se \(A-\lambda I\) não é invertível.
Logo, \(\lambda\) é autovalor de \(A\) \(\iff\) \(\det(A-\lambda I)=0\).

Definição — polinômio e equação característica

\(\det(A-\lambda I) = 0\) é a equação característica de \(A\); \(\det(A-\lambda I)\), como polinômio em \(\lambda\), é o polinômio característico de \(A\) — tem grau \(n\) para \(A\) de tamanho \(n\times n\).

Os autovalores de \(A\) são exatamente as raízes do polinômio característico.
Para cada autovalor \(\lambda\), o autoespaço associado é \(\ker(A-\lambda I) = \{v : (A-\lambda I)v=0\}\) — sempre um subespaço, de dimensão \(\ge 1\).

Exemplo — matriz \(2\times2\) (autovalores)

Seja \(A=\begin{bmatrix}4&2\\1&3\end{bmatrix}\). O polinômio característico é \[\det(A-\lambda I) = \det\begin{bmatrix}4-\lambda&2\\1&3-\lambda\end{bmatrix} = (4-\lambda)(3-\lambda)-2 = \lambda^2-7\lambda+10.\]

Fatorando: \(\lambda^2-7\lambda+10=(\lambda-5)(\lambda-2)\).

\[\boxed{\lambda_1=5,\qquad \lambda_2=2}\]

Exemplo — matriz \(2\times2\) (autoespaços)

Para \(\lambda_1=5\): resolver \((A-5I)v=0\), isto é, \(\begin{bmatrix}-1&2\\1&-2\end{bmatrix}v=0\).

Da primeira linha: \(-v_1+2v_2=0 \Rightarrow v_1=2v_2\). Autoespaço: \(\mathrm{span}\{(2,1)\}\).

Para \(\lambda_2=2\): resolver \((A-2I)v=0\), isto é, \(\begin{bmatrix}2&2\\1&1\end{bmatrix}v=0\).

Da primeira linha: \(2v_1+2v_2=0 \Rightarrow v_1=-v_2\). Autoespaço: \(\mathrm{span}\{(1,-1)\}\).

\[v_1=(2,1) \text{ associado a } \lambda_1=5, \qquad v_2=(1,-1) \text{ associado a } \lambda_2=2.\]

Exemplo — matriz \(3\times3\) (autovalores)

Seja \(A=\begin{bmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{bmatrix}\). O polinômio característico é \[\det(A-\lambda I) = -\lambda^3+6\lambda^2-9\lambda+4.\]

Igualando a zero e fatorando (raiz \(\lambda=4\) e raiz dupla \(\lambda=1\)): \[\lambda^3-6\lambda^2+9\lambda-4=(\lambda-4)(\lambda-1)^2=0\]

\[\boxed{\lambda_1=4 \ \ (\text{simples}), \qquad \lambda_2=1 \ \ (\text{dupla})}\]

Exemplo — matriz \(3\times3\) (autoespaços)

Para \(\lambda_1=4\): \((A-4I)v=0\) com \(A-4I=\begin{bmatrix}-2&1&1\\1&-2&1\\1&1&-2\end{bmatrix}\).

Resolvendo o sistema: \(v_1=v_2=v_3\). Autoespaço: \(\mathrm{span}\{(1,1,1)\}\) — dimensão \(1\).

Para \(\lambda_2=1\): \((A-I)v=0\) com \(A-I=\begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{bmatrix}\).

Resolvendo: apenas \(v_1+v_2+v_3=0\). Autoespaço: \(\mathrm{span}\{(1,-1,0),(1,0,-1)\}\) — dimensão \(2\).

21.2 — Multiplicidade e casos especiais

Multiplicidade algébrica e geométrica

Definição

Seja \(\lambda\) autovalor de \(A\).

A multiplicidade algébrica de \(\lambda\) é a multiplicidade de \(\lambda\) como raiz do polinômio característico.
A multiplicidade geométrica de \(\lambda\) é \(\dim\ker(A-\lambda I)\), a dimensão do autoespaço.

No exemplo anterior: \(\lambda_1=4\) tem multiplicidades algébrica e geométrica ambas iguais a \(1\); \(\lambda_2=1\) tem multiplicidade algébrica \(2\) e geométrica \(2\) — coincidem nos dois casos.

Teorema 21.1 — relação entre as multiplicidades

Teorema 21.1

Para todo autovalor \(\lambda\) de \(A\): \[1 \le (\text{multiplicidade geométrica de }\lambda) \le (\text{multiplicidade algébrica de }\lambda).\]

Quando a geométrica é estritamente menor que a algébrica, dizemos que \(A\) é defectiva em \(\lambda\) — faltam autovetores LI, o que impede a diagonalização (assunto da próxima aula).

Exemplo — geométrica menor que algébrica

Seja \(A=\begin{bmatrix}2&1\\0&2\end{bmatrix}\). Como \(A\) é triangular, \(\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)^2\):

\[\lambda=2 \ \ \text{com multiplicidade algébrica } 2.\]

Autoespaço: \((A-2I)v=0\) com \(A-2I=\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}\), ou seja, \(v_2=0\) e \(v_1\) livre.

\[\ker(A-2I) = \mathrm{span}\{(1,0)\} \ \Rightarrow \ \text{multiplicidade geométrica } =1 < 2.\]

Observação

Só há um autovetor LI para \(\lambda=2\) (a menos de múltiplo escalar) — não há autovetores suficientes para formar uma base de \(\mathbb{R}^2\).

Teorema 21.2 — autovalores de matrizes triangulares

Teorema 21.2

Se \(A\) é uma matriz triangular (superior, inferior ou diagonal), então os autovalores de \(A\) são exatamente as entradas de sua diagonal principal.

Exemplo: para \(A=\begin{bmatrix}1&1&1\\0&2&1\\0&0&3\end{bmatrix}\), como \(A\) é triangular superior, \[\det(A-\lambda I) = (1-\lambda)(2-\lambda)(3-\lambda) \ \Rightarrow \ \lambda_1=1,\ \lambda_2=2,\ \lambda_3=3.\]

Nenhum cálculo adicional é necessário — basta ler a diagonal.

Resumo da aula

Autovalor/autovetor: \(Av=\lambda v\), \(v\neq 0\) — direções que a transformação apenas escala.
Autovalores = raízes do polinômio característico \(\det(A-\lambda I)\); autoespaço = \(\ker(A-\lambda I)\).
Exemplos completos \(2\times2\) e \(3\times3\): cálculo de polinômio característico, raízes e autoespaços.
Multiplicidade algébrica \(\ge\) multiplicidade geométrica \(\ge 1\); quando desigual, a matriz é defectiva.
Caso especial: autovalores de matriz triangular = entradas da diagonal.

Referências

Anton, H. & Rorres, C. Álgebra Linear com Aplicações. 10ª ed. Bookman.
Lay, D. C. Álgebra Linear e suas Aplicações. 4ª ed. Pearson.
Strang, G. Introdução à Álgebra Linear. 4ª ed. LTC.
Larson, R. Elementos de Álgebra Linear, 8ª ed. Capítulo sobre Autovalores e Autovetores.