Álgebra Linear

Diagonalização de Matrizes

Prof. Dr. Raphael Teixeira

Universidade Federal do Pará

22.1 — Diagonalização

Por que diagonalizar?

  • Matrizes diagonais são extremamente fáceis de manipular: potências, sistemas dinâmicos, etc.
  • Ideia: trocar de base para uma em que \(A\) atua como matriz diagonal.
  • Essa base é formada por autovetores de \(A\) — o assunto da aula anterior agora vira ferramenta de cálculo.

Definição — matriz diagonalizável

Definição

Uma matriz \(A\) (\(n\times n\)) é diagonalizável se existe uma matriz invertível \(P\) tal que \[P^{-1}AP = D\] é uma matriz diagonal.

  • Equivalentemente: \(A = PDP^{-1}\).
  • \(D\) contém os autovalores de \(A\); \(P\) contém os autovetores correspondentes — mas em que ordem, exatamente?

Teorema 22.1 — condição de diagonalizabilidade

Teorema 22.1

Uma matriz \(A\) (\(n\times n\)) é diagonalizável se e somente se possui \(n\) autovetores linearmente independentes.

Nesse caso, se \(P\) tem esses autovetores como colunas, então \[P^{-1}AP = D,\] onde \(D\) é diagonal e sua \(i\)-ésima entrada diagonal é o autovalor correspondente à \(i\)-ésima coluna de \(P\).

  • A ordem das colunas de \(P\) e das entradas de \(D\) deve coincidir.
  • Se algum autovalor tem multiplicidade geométrica \(<\) algébrica (matriz defectiva), faltam autovetores LI e \(A\) não é diagonalizável.

Exemplo — diagonalizando uma matriz \(2\times2\) (parte 1)

Retomando \(A=\begin{bmatrix}4&2\\1&3\end{bmatrix}\) (aula anterior): autovalores \(\lambda_1=5\), \(\lambda_2=2\), com autovetores \[v_1=(2,1) \ \text{ (para }\lambda_1=5\text{)}, \qquad v_2=(1,-1) \ \text{ (para }\lambda_2=2\text{)}.\]

Como \(v_1,v_2\) são LI (não são paralelos) e \(A\) é \(2\times2\), o Teorema 22.1 garante que \(A\) é diagonalizável.

Exemplo — diagonalizando uma matriz \(2\times2\) (parte 2)

\[P=\begin{bmatrix}2&1\\1&-1\end{bmatrix}, \qquad D=\begin{bmatrix}5&0\\0&2\end{bmatrix}\]

Como \(\det P = -2-1=-3\neq0\), \(P\) é invertível, com \[P^{-1}=\begin{bmatrix}1/3&1/3\\1/3&-2/3\end{bmatrix}.\]

Verificação (\(AP=PD\)): \(AP=\begin{bmatrix}10&2\\5&-2\end{bmatrix}\) e \(PD=\begin{bmatrix}2\cdot5&1\cdot2\\1\cdot5&-1\cdot2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}10&2\\5&-2\end{bmatrix}\). ✓

Logo \(P^{-1}AP=D\).

Teorema 22.2 — autovalores distintos bastam

Teorema 22.2

Se uma matriz \(A\) (\(n\times n\)) possui \(n\) autovalores distintos, então \(A\) é diagonalizável.

  • Autovetores associados a autovalores distintos são automaticamente LI — condição suficiente, mas não necessária.
  • Contraexemplo da suficiência não ser necessária: \(A=I\) tem autovalor único \(\lambda=1\) com multiplicidade \(n\), mas é diagonalizável (já é diagonal!). O teorema não se aplica, mas \(A\) é diagonalizável mesmo assim.

Contraexemplo — matriz não diagonalizável

Retomando \(A=\begin{bmatrix}2&1\\0&2\end{bmatrix}\): autovalor único \(\lambda=2\), multiplicidade algébrica \(2\), mas multiplicidade geométrica \(1\) (autoespaço \(=\mathrm{span}\{(1,0)\}\)).

Observação

Só existe um autovetor LI. É impossível formar \(P\) \(2\times2\) invertível com colunas autovetores de \(A\) — logo \(A\) não é diagonalizável.

  • Esse é exatamente o tipo de matriz “defectiva” apresentado na aula anterior.

22.2 — Aplicação: potências de matrizes

Potências via diagonalização

Se \(A=PDP^{-1}\), então para qualquer inteiro \(k\ge1\): \[A^k = (PDP^{-1})(PDP^{-1})\cdots(PDP^{-1}) = PD^kP^{-1},\]

pois os termos \(P^{-1}P\) do meio se cancelam.

  • Como \(D\) é diagonal, \(D^k\) é trivial: basta elevar cada entrada da diagonal à potência \(k\).
  • Calcular \(A^k\) diretamente exigiria \(k-1\) multiplicações de matrizes; via diagonalização, apenas duas multiplicações (mais elevar escalares a potências).

Exemplo — calculando \(A^{10}\) (fórmula geral)

Para \(A=\begin{bmatrix}4&2\\1&3\end{bmatrix}=PDP^{-1}\) com \(\lambda_1=5,\lambda_2=2\), \(P,P^{-1}\) como antes, obtém-se, para qualquer \(k\):

\[A^k = \frac{1}{3}\begin{bmatrix}2\lambda_1^k+\lambda_2^k & 2\lambda_1^k-2\lambda_2^k \\ \lambda_1^k-\lambda_2^k & \lambda_1^k+2\lambda_2^k\end{bmatrix}\]

Checagem para \(k=1\): \(\frac13\begin{bmatrix}2(5)+2 & 2(5)-2(2)\\5-2 & 5+2(2)\end{bmatrix}=\frac13\begin{bmatrix}12&6\\3&9\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4&2\\1&3\end{bmatrix}=A.\) ✓

Exemplo — calculando \(A^{10}\) (resultado numérico)

Com \(\lambda_1^{10}=5^{10}=9\,765\,625\) e \(\lambda_2^{10}=2^{10}=1024\):

\[A^{10} = \begin{bmatrix}6\,510\,758 & 6\,509\,734 \\ 3\,254\,867 & 3\,255\,891\end{bmatrix}\]

Verificação rápida

\(\det(A)=10\), logo \(\det(A^{10})=10^{10}\). De fato, \(\lambda_1^{10}\lambda_2^{10}=9\,765\,625\times 1024=10\,000\,000\,000=10^{10}\). ✓

\(\mathrm{tr}(A^{10})=\lambda_1^{10}+\lambda_2^{10}=9\,766\,649\), que coincide com \(6\,510\,758+3\,255\,891\). ✓

Resumo da aula

  • \(A\) é diagonalizável \(\iff\) possui \(n\) autovetores LI; \(P\) = autovetores em colunas, \(D\) = autovalores correspondentes na diagonal.
  • Autovalores distintos \(\Rightarrow\) diagonalizável (condição suficiente, não necessária).
  • Matrizes defectivas (multiplicidade geométrica \(<\) algébrica) não são diagonalizáveis.
  • Aplicação central: \(A^k=PD^kP^{-1}\) torna potências de matrizes triviais de calcular.

Referências

  • Anton, H. & Rorres, C. Álgebra Linear com Aplicações. 10ª ed. Bookman.
  • Lay, D. C. Álgebra Linear e suas Aplicações. 4ª ed. Pearson.
  • Strang, G. Introdução à Álgebra Linear. 4ª ed. LTC.
  • Larson, R. Elementos de Álgebra Linear, 8ª ed. Capítulo sobre Diagonalização.