Aplicações de Autovalores: Sistemas Dinâmicos e Matrizes Simétricas
Universidade Federal do Pará
Definição
Um sistema dinâmico discreto linear é uma sequência de vetores \(x_0,x_1,x_2,\ldots\) definida por \[x_{k+1} = Ax_k,\] onde \(A\) é \(n\times n\) e \(x_0\) é o estado inicial.
Se \(A\) tem autovalores \(\lambda_1,\ldots,\lambda_n\) com autovetores LI \(v_1,\ldots,v_n\), escrevemos \[x_0 = c_1v_1+c_2v_2+\cdots+c_nv_n.\]
Então: \[x_k = A^kx_0 = c_1\lambda_1^kv_1+c_2\lambda_2^kv_2+\cdots+c_n\lambda_n^kv_n.\]
Interpretação de longo prazo (quando \(k\to\infty\)):
Modelo simplificado de previsão do tempo com dois estados, “ensolarado” (E) e “chuvoso” (C). Se hoje é E, amanhã é E com probabilidade \(0{,}9\) e C com probabilidade \(0{,}1\); se hoje é C, amanhã é E com probabilidade \(0{,}2\) e C com probabilidade \(0{,}8\).
Matriz de transição (colunas somam \(1\)): \[A=\begin{bmatrix}0{,}9&0{,}2\\0{,}1&0{,}8\end{bmatrix}, \qquad x_k=\begin{bmatrix}\Pr(\text{E no dia }k)\\ \Pr(\text{C no dia }k)\end{bmatrix}, \qquad x_{k+1}=Ax_k.\]
Polinômio característico: \(\det(A-\lambda I)=(0{,}9-\lambda)(0{,}8-\lambda)-0{,}02=\lambda^2-1{,}7\lambda+0{,}7\).
Raízes: \(\lambda=\dfrac{1{,}7\pm\sqrt{1{,}7^2-4(0{,}7)}}{2}=\dfrac{1{,}7\pm0{,}3}{2}\)
\[\boxed{\lambda_1=1, \qquad \lambda_2=0{,}7}\]
Autovetores: para \(\lambda_1=1\): \((A-I)v=0 \Rightarrow -0{,}1v_1+0{,}2v_2=0 \Rightarrow v_1=2v_2\), logo \(v_1^{\,vetor}=(2,1)\).
Para \(\lambda_2=0{,}7\): \((A-0{,}7I)v=0 \Rightarrow 0{,}2v_1+0{,}2v_2=0 \Rightarrow v_1=-v_2\), logo \(v_2^{\,vetor}=(1,-1)\).
Para \(x_0=(1,0)\) (começa totalmente ensolarado), escrevendo \(x_0=c_1(2,1)+c_2(1,-1)\): \[2c_1+c_2=1, \qquad c_1-c_2=0 \ \Rightarrow \ c_1=c_2=\tfrac13.\]
\[x_k = \frac13(2,1) + \frac13(0{,}7)^k(1,-1)\]
Comportamento de longo prazo
Como \(|\lambda_2|=0{,}7<1\), o segundo termo desaparece quando \(k\to\infty\): \[x_k \ \longrightarrow \ \left(\tfrac23,\tfrac13\right).\] Ou seja: no longo prazo, \(\frac23\) dos dias são ensolarados e \(\frac13\) chuvosos — independente do estado inicial (autovalor \(\lambda_1=1\) define o estado estacionário).
Teorema 23.1 — Teorema Espectral
Se \(A\) é uma matriz simétrica real (\(A=A^T\)), então:
Prova do item 3: sejam \(Av_1=\lambda_1v_1\), \(Av_2=\lambda_2v_2\), com \(\lambda_1\neq\lambda_2\) e \(A=A^T\). Usando o produto interno usual \(\langle\cdot,\cdot\rangle\) de \(\mathbb{R}^n\):
\[\lambda_1\langle v_1,v_2\rangle = \langle Av_1,v_2\rangle = \langle v_1,A^Tv_2\rangle = \langle v_1,Av_2\rangle = \lambda_2\langle v_1,v_2\rangle\]
Logo \((\lambda_1-\lambda_2)\langle v_1,v_2\rangle=0\). Como \(\lambda_1\neq\lambda_2\), conclui-se \(\langle v_1,v_2\rangle=0\). \(\blacksquare\)
Seja \(A=\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}\) (simétrica). Polinômio característico: \[\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)^2-1=\lambda^2-4\lambda+3=(\lambda-1)(\lambda-3)\]
\[\boxed{\lambda_1=3,\qquad \lambda_2=1}\]
Autovetores: para \(\lambda_1=3\): \((A-3I)v=0 \Rightarrow -v_1+v_2=0 \Rightarrow v_1=v_2\), autovetor \((1,1)\).
Para \(\lambda_2=1\): \((A-I)v=0 \Rightarrow v_1+v_2=0 \Rightarrow v_1=-v_2\), autovetor \((1,-1)\).
Note que \((1,1)\cdot(1,-1)=0\) — confirma o item 3 do Teorema Espectral.
Normalizando: \(u_1=\left(\tfrac{1}{\sqrt2},\tfrac1{\sqrt2}\right)\), \(u_2=\left(\tfrac1{\sqrt2},-\tfrac1{\sqrt2}\right)\).
\[P=\begin{bmatrix}1/\sqrt2 & 1/\sqrt2 \\ 1/\sqrt2 & -1/\sqrt2\end{bmatrix}, \qquad D=\begin{bmatrix}3&0\\0&1\end{bmatrix}\]
Como as colunas de \(P\) são ortonormais, \(P^{-1}=P^T=P\) (neste caso particular). Verificação: \[Au_1 = \left(\tfrac{2}{\sqrt2}+\tfrac1{\sqrt2},\ \tfrac1{\sqrt2}+\tfrac2{\sqrt2}\right)=\left(\tfrac3{\sqrt2},\tfrac3{\sqrt2}\right)=3u_1 \ ✓\] \[Au_2 = \left(\tfrac2{\sqrt2}-\tfrac1{\sqrt2},\ \tfrac1{\sqrt2}-\tfrac2{\sqrt2}\right)=\left(\tfrac1{\sqrt2},-\tfrac1{\sqrt2}\right)=1\cdot u_2 \ ✓\]
Logo \(P^TAP=D\).
flowchart LR
A["Polinômio característico<br>det(A - λI) = 0"] --> B["Autovalores e autoespaços<br>(AL21)"]
B --> C["n autovetores LI?"]
C -->|Sim| D["Diagonalização<br>A = PDP⁻¹ (AL22)"]
C -->|Não| E["Matriz defectiva<br>(não diagonalizável)"]
D --> F["Potências A^k = PD^kP⁻¹"]
D --> G["Sistemas dinâmicos x_k = A^k x₀"]
D --> H["Matrizes simétricas:<br>diagonalização ORTOGONAL (AL23)"]
UFPA - NDAE - PPCA