Álgebra Linear

Norma, Produto Escalar e Produto Interno em Espaços Vetoriais

Prof. Dr. Raphael Teixeira

Universidade Federal do Pará

5.1 — Comprimento e produto escalar em \(\mathbb{R}^n\)

Da geometria para \(\mathbb{R}^n\)

Em \(\mathbb{R}^2\), um vetor é caracterizado por comprimento e direção.
Queremos estender comprimento, distância e ângulo de \(\mathbb{R}^2\) para \(\mathbb{R}^n\).
Ferramenta central: o produto escalar.

Comprimento (norma) de um vetor

Pelo Teorema de Pitágoras em \(\mathbb{R}^2\): \(\|v\|^2 = v_1^2+v_2^2\).

Definição

O comprimento, ou norma, de \(v=(v_1,v_2,\dots,v_n)\in\mathbb{R}^n\) é \[\|v\| = \sqrt{v_1^2+v_2^2+\cdots+v_n^2}.\] Se \(\|v\|=1\), \(v\) é um vetor unitário.

Exemplo — comprimento de um vetor

a. Em \(\mathbb{R}^5\), para \(v=(0,-2,1,4,-2)\): \[\|v\|=\sqrt{0^2+(-2)^2+1^2+4^2+(-2)^2}=\sqrt{25}=5.\]

b. Em \(\mathbb{R}^3\), para \(v=\left(\tfrac{2}{\sqrt{17}},-\tfrac{2}{\sqrt{17}},\tfrac{3}{\sqrt{17}}\right)\), tem-se \(\|v\|=1\): um vetor unitário.

Vetores unitários canônicos: \(\{i,j\}\) em \(\mathbb{R}^2\), \(\{i,j,k\}\) em \(\mathbb{R}^3\).
\(u,v\) não nulos são paralelos quando \(u=cv\) para algum escalar \(c\).

Normalização de um vetor

Teorema 5.1 — comprimento de um múltiplo escalar

\(\|cv\| = |c|\,\|v\|\)

Teorema 5.2 — vetor unitário na direção de \(v\)

Se \(v\neq 0\) em \(\mathbb{R}^n\), então \(u = \dfrac{v}{\|v\|}\) tem comprimento \(1\) e a mesma direção de \(v\).

Exemplo: o vetor unitário na direção de \(v=(3,-1,2)\) é \[\frac{v}{\|v\|}=\frac{1}{\sqrt{14}}(3,-1,2)=\left(\tfrac{3}{\sqrt{14}},-\tfrac{1}{\sqrt{14}},\tfrac{2}{\sqrt{14}}\right).\]

Distância entre dois vetores

Definição

A distância entre \(u\) e \(v\) em \(\mathbb{R}^n\) é \[d(u,v) = \|u-v\|.\]

Propriedades: \(d(u,v)\ge 0\); \(d(u,v)=0 \iff u=v\); \(d(u,v)=d(v,u)\).

Exemplo: para \(u=(-1,-4)\), \(v=(2,3)\): \[d(u,v)=\|(-3,-7)\|=\sqrt{9+49}=\sqrt{58}.\]

Produto escalar e ângulo entre vetores

Pela lei dos cossenos, \(\|v-u\|^2 = \|u\|^2+\|v\|^2-2\|u\|\|v\|\cos\theta\), o que leva a \(\cos\theta = \dfrac{u_1v_1+u_2v_2}{\|u\|\,\|v\|}\).

Produto escalar em \(\mathbb{R}^n\)

Definição

\[u\cdot v = u_1v_1+u_2v_2+\cdots+u_nv_n\]

Teorema 5.3 — propriedades do produto escalar

Para \(u,v,w\in\mathbb{R}^n\) e escalar \(c\):

\(u\cdot v = v\cdot u\)
\(u\cdot(v+w)=u\cdot v+u\cdot w\)
\(c(u\cdot v) = (cu)\cdot v = u\cdot(cv)\)
\(v\cdot v = \|v\|^2\)
\(v\cdot v\ge 0\), com igualdade sse \(v=0\)

Exemplos — produto escalar

Para \(u=(2,-2)\), \(v=(5,8)\), \(w=(-4,3)\):

\(u\cdot v = 2(5)+(-2)(8) = -6\)
\((u\cdot v)w = -6(-4,3)=(24,-18)\)
\(u\cdot(2v)=2(u\cdot v)=-12\)
\(\|w\|^2 = w\cdot w = 25\)

Usando propriedades: se \(u\cdot u=39\), \(u\cdot v=-3\), \(v\cdot v=79\), então \[(u+2v)\cdot(3u+v)=3(u\cdot u)+7(u\cdot v)+2(v\cdot v)=3(39)+7(-3)+2(79)=254.\]

Desigualdade de Cauchy-Schwarz

Teorema 5.4

Para \(u,v\in\mathbb{R}^n\): \[|u\cdot v| \le \|u\|\,\|v\|\]

Essencial para que \(\cos\theta = \dfrac{u\cdot v}{\|u\|\|v\|}\) faça sentido (o lado direito precisa estar em \([-1,1]\)).

Exemplo: \(u=(1,-1,3)\), \(v=(2,0,-1)\): \(|u\cdot v|=1 \le \|u\|\|v\|=\sqrt{55}\). ✓

Ângulo e ortogonalidade

Definição — ângulo entre vetores

\[\cos\theta = \frac{u\cdot v}{\|u\|\,\|v\|}, \qquad 0\le\theta\le\pi\]

Definição — vetores ortogonais

\(u\) e \(v\) são ortogonais quando \(u\cdot v = 0\). (O vetor nulo é ortogonal a todo vetor.)

Exemplo: \(u=(1,0,0)\) e \(v=(0,1,0)\) são ortogonais, pois \(u\cdot v=0\).

Exemplo: todo vetor ortogonal a \(u=(4,2)\) tem a forma \(v=t(1,-2)\).

Desigualdade triangular e Pitágoras

Teorema 5.5 — desigualdade triangular

\[\|u+v\| \le \|u\|+\|v\|\]

Teorema 5.6 — Teorema de Pitágoras

\(u\) e \(v\) são ortogonais \(\iff\) \[\|u+v\|^2 = \|u\|^2+\|v\|^2\]

Ambos seguem diretamente de Cauchy-Schwarz e das propriedades do produto escalar.

Produto escalar via multiplicação de matrizes

Escrevendo \(u,v\) como matrizes coluna \(n\times 1\): \[u\cdot v = u^Tv = [u_1\ u_2\ \cdots\ u_n]\begin{bmatrix}v_1\\v_2\\\vdots\\v_n\end{bmatrix}\]

Exemplo: \(u=\begin{bmatrix}1\\2\\-1\end{bmatrix}\), \(v=\begin{bmatrix}3\\-2\\4\end{bmatrix}\): \[u^Tv = [1\ \ 2\ \ {-1}]\begin{bmatrix}3\\-2\\4\end{bmatrix} = 3-4-4=-5.\]

5.2 — Espaços com produto interno

Generalizando o produto escalar

O produto escalar é um exemplo de produto interno — o produto interno euclidiano.
Notação: \(u\cdot v\) (euclidiano) vs. \(\langle u,v\rangle\) (produto interno geral).
Um espaço vetorial \(V\) munido de um produto interno é um espaço com produto interno.

Definição de produto interno

Definição

Um produto interno em \(V\) associa a cada par \(u,v\) um escalar \(\langle u,v\rangle\) satisfazendo, para todo \(u,v,w\in V\) e escalar \(c\):

\(\langle u,v\rangle = \langle v,u\rangle\)
\(\langle u,v+w\rangle = \langle u,v\rangle+\langle u,w\rangle\)
\(c\langle u,v\rangle = \langle cu,v\rangle\)
\(\langle v,v\rangle \ge 0\), com igualdade sse \(v=0\)

Estes axiomas seguem as propriedades 1, 2, 3 e 5 do Teorema 5.3.

Exemplo — produto interno euclidiano

O produto escalar usual em \(\mathbb{R}^n\) satisfaz os quatro axiomas (Teorema 5.3) e é, portanto, um produto interno em \(\mathbb{R}^n\).

Mas não é o único: em \(\mathbb{R}^2\), com \(u=(u_1,u_2)\), \(v=(v_1,v_2)\), \[\langle u,v\rangle = u_1v_1+2u_2v_2\] também define um produto interno (verificam-se os quatro axiomas diretamente).

Produtos internos ponderados

De modo geral, para constantes positivas \(c_1,\dots,c_n\): \[\langle u,v\rangle = c_1u_1v_1+c_2u_2v_2+\cdots+c_nu_nv_n\] é um produto interno em \(\mathbb{R}^n\) — os \(c_i\) são pesos.

Contraexemplo

\(\langle u,v\rangle = u_1v_1-2u_2v_2+u_3v_3\) não é produto interno em \(\mathbb{R}^3\): para \(v=(1,2,1)\), \(\langle v,v\rangle = 1-8+1=-6<0\), violando o Axioma 4.

Produto interno em espaços de matrizes

Para \(A,B \in M_{2,2}\): \[\langle A,B\rangle = a_{11}b_{11}+a_{12}b_{12}+a_{21}b_{21}+a_{22}b_{22}\] define um produto interno em \(M_{2,2}\) (os quatro axiomas se verificam de modo análogo ao caso de \(\mathbb{R}^4\)).

Teorema 5.7 — propriedades

Em qualquer espaço com produto interno \(V\): \(\langle 0,v\rangle=0\); \(\langle u+v,w\rangle=\langle u,w\rangle+\langle v,w\rangle\); \(\langle u,cv\rangle = c\langle u,v\rangle\).

Comprimento, distância e ângulo — versão geral

Definições em um espaço com produto interno \(V\)

Comprimento: \(\|u\| = \sqrt{\langle u,u\rangle}\)
Distância: \(d(u,v) = \|u-v\|\)
Ângulo: \(\cos\theta = \dfrac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\,\|v\|}\), \(0\le\theta\le\pi\)
Ortogonalidade: \(u\perp v \iff \langle u,v\rangle=0\)

Teorema 5.8 — versões gerais

Cauchy-Schwarz \(|\langle u,v\rangle|\le\|u\|\|v\|\); desigualdade triangular \(\|u+v\|\le\|u\|+\|v\|\); Pitágoras: \(u\perp v \iff \|u+v\|^2=\|u\|^2+\|v\|^2\).

Projeção ortogonal — motivação

Projetar \(u\) ortogonalmente em \(v\neq 0\): \(\mathrm{proj}_v u = av\) para algum escalar \(a\).

Projeção ortogonal — definição

Definição

Em um espaço com produto interno \(V\), com \(v\neq 0\): \[\mathrm{proj}_v u = \frac{\langle u,v\rangle}{\langle v,v\rangle}\,v\]

Exemplo (em \(\mathbb{R}^2\)): \(u=(4,2)\), \(v=(3,4)\): \[\mathrm{proj}_v u = \frac{u\cdot v}{v\cdot v}v = \frac{20}{25}(3,4) = \left(\tfrac{12}{5},\tfrac{16}{5}\right).\]

Exemplo (em \(\mathbb{R}^3\)): \(u=(6,2,4)\), \(v=(1,2,0)\): \(u\cdot v=10\), \(v\cdot v=5\), \[\mathrm{proj}_v u = 2(1,2,0) = (2,4,0).\]

A projeção é a melhor aproximação

Teorema 5.9

Sejam \(u,v\) em um espaço com produto interno, \(v\neq 0\). Então, entre todos os múltiplos escalares \(cv\), \[d(u,\mathrm{proj}_v u) < d(u,cv), \qquad c\neq \frac{\langle u,v\rangle}{\langle v,v\rangle}.\]

Ou seja: \(\mathrm{proj}_v u\) é o ponto da reta \(\mathrm{span}\{v\}\) mais próximo de \(u\).
Além disso, \(u - \mathrm{proj}_v u\) é sempre ortogonal a \(v\).

Resumo da aula

5.1 — Norma, distância, ângulo e ortogonalidade em \(\mathbb{R}^n\) via produto escalar; Cauchy-Schwarz, desigualdade triangular, Pitágoras.
5.2 — Produto interno geral (axiomas); mesmas noções geométricas (comprimento, distância, ângulo, ortogonalidade) em qualquer espaço vetorial; projeção ortogonal como melhor aproximação sobre uma reta.

Referências

Larson, R. Elementos de Álgebra Linear, 8ª edição. Capítulo 5 — Espaços com Produto Interno (Seções 5.1 e 5.2).
Anton, H. & Rorres, C. Álgebra Linear com Aplicações. 10ª ed. Bookman.
Lay, D. C. Álgebra Linear e suas Aplicações. 4ª ed. Pearson.
Strang, G. Introdução à Álgebra Linear. 4ª ed. LTC.