Álgebra Linear

Bases Ortonormais e o Processo de Gram-Schmidt

Prof. Dr. Raphael Teixeira

Universidade Federal do Pará

5.3 — Bases ortonormais: Gram-Schmidt

Por que bases ortonormais?

  • Um espaço vetorial admite muitas bases — algumas mais convenientes que outras.
  • A base canônica de \(\mathbb{R}^3\) é especial: os vetores são mutuamente ortogonais e unitários.

Definições

Um conjunto \(S=\{v_1,\dots,v_n\}\) é:

  • ortogonal quando \(\langle v_i,v_j\rangle = 0\) para \(i\neq j\);
  • ortonormal quando, além disso, \(\|v_i\|=1\) para todo \(i\).

Exemplo — base ortonormal não canônica de \(\mathbb{R}^3\)

\[S=\left\{\left(\tfrac{1}{\sqrt2},\tfrac{1}{\sqrt2},0\right),\ \left(-\tfrac{1}{\sqrt{18}},\tfrac{1}{\sqrt{18}},\tfrac{4}{\sqrt{18}}\right),\ \left(\tfrac{2}{3},-\tfrac{2}{3},\tfrac13\right)\right\}\]

Verificando: \(v_1\cdot v_2 = v_1\cdot v_3 = v_2\cdot v_3 = 0\) e \(\|v_1\|=\|v_2\|=\|v_3\|=1\).

  • Os três vetores não são coplanares \(\Rightarrow\) geram \(\mathbb{R}^3\) \(\Rightarrow\) formam base ortonormal.

Conjuntos ortogonais são LI

Teorema 5.10

Se \(S=\{v_1,\dots,v_n\}\) é um conjunto ortogonal de vetores não nulos, então \(S\) é linearmente independente.

Corolário: em um espaço de dimensão \(n\), qualquer conjunto ortogonal de \(n\) vetores não nulos é uma base.

Exemplo: para verificar que \(S=\{v_1,v_2,v_3,v_4\}\subset\mathbb{R}^4\) é base, basta checar que os 6 produtos escalares \(v_i\cdot v_j\) (\(i\neq j\)) são todos zero — não é necessário calcular determinante ou escalonar!

Coordenadas em base ortonormal

Teorema 5.11 — coeficientes de Fourier

Se \(B=\{v_1,\dots,v_n\}\) é base ortonormal de \(V\), então todo \(w\in V\) se escreve \[w = \langle w,v_1\rangle v_1+\langle w,v_2\rangle v_2+\cdots+\langle w,v_n\rangle v_n.\]

  • Vantagem enorme: as coordenadas \(c_i=\langle w,v_i\rangle\) são obtidas por produtos internos — sem resolver sistema linear!

Exemplo: \(w=(5,-5,2)\) na base ortonormal \(B=\{(\tfrac35,\tfrac45,0),(-\tfrac45,\tfrac35,0),(0,0,1)\}\): \[[w]_B = [\,w\cdot v_1\ \ w\cdot v_2\ \ w\cdot v_3\,]^T = [-1\ \ -7\ \ 2]^T.\]

O processo de Gram-Schmidt

Ideia geométrica em \(\mathbb{R}^2\):

\[w_1=v_1, \qquad w_2 = v_2-\mathrm{proj}_{w_1}v_2\]

\(w_2\) é, por construção, ortogonal a \(w_1\).

Processo de Gram-Schmidt — algoritmo geral

Teorema 5.12

Seja \(B=\{v_1,\dots,v_n\}\) base de \(V\). Defina \[w_1=v_1,\quad w_2 = v_2-\frac{\langle v_2,w_1\rangle}{\langle w_1,w_1\rangle}w_1,\quad w_3 = v_3-\frac{\langle v_3,w_1\rangle}{\langle w_1,w_1\rangle}w_1-\frac{\langle v_3,w_2\rangle}{\langle w_2,w_2\rangle}w_2,\ \ldots\] Então \(B'=\{w_1,\dots,w_n\}\) é base ortogonal; normalizando, \(u_i=w_i/\|w_i\|\), obtemos base ortonormal \(B''\).

Passos: (1) partir de uma base qualquer; (2) ortogonalizar subtraindo projeções; (3) normalizar.

Exemplo — Gram-Schmidt em \(\mathbb{R}^2\)

Para \(B=\{(1,1),(0,1)\}\):

\[w_1=(1,1), \qquad w_2 = (0,1)-\tfrac12(1,1) = \left(-\tfrac12,\tfrac12\right)\]

Normalizando: \[u_1 = \left(\tfrac{\sqrt2}{2},\tfrac{\sqrt2}{2}\right), \qquad u_2 = \left(-\tfrac{\sqrt2}{2},\tfrac{\sqrt2}{2}\right)\]

\(B''=\{u_1,u_2\}\) é base ortonormal de \(\mathbb{R}^2\).

Exemplo — Gram-Schmidt em \(\mathbb{R}^3\)

Para \(B=\{(1,1,0),(1,2,0),(0,1,2)\}\):

\[w_1=(1,1,0)\] \[w_2 = (1,2,0)-\tfrac32(1,1,0) = \left(-\tfrac12,\tfrac12,0\right)\] \[w_3 = (0,1,2)-\tfrac12(1,1,0)-1\left(-\tfrac12,\tfrac12,0\right) = (0,0,2)\]

Normalizando: \(u_1=\left(\tfrac{\sqrt2}2,\tfrac{\sqrt2}2,0\right)\), \(u_2=\left(-\tfrac{\sqrt2}2,\tfrac{\sqrt2}2,0\right)\), \(u_3=(0,0,1)\).

Gram-Schmidt em um subespaço

O processo funciona igualmente em subespaços. Para \(v_1=(0,1,0)\), \(v_2=(1,1,1)\) gerando um plano em \(\mathbb{R}^3\):

\[w_1=(0,1,0), \qquad w_2 = (1,1,1)-1\cdot(0,1,0) = (1,0,1)\]

\[u_1=(0,1,0), \qquad u_2 = \left(\tfrac{\sqrt2}2,0,\tfrac{\sqrt2}2\right)\]

\(\{u_1,u_2\}\): base ortonormal do plano \(\mathrm{span}\{v_1,v_2\}\).

Forma alternativa do processo

Normalizando a cada passo (em vez de só no final):

\[u_1=\frac{v_1}{\|v_1\|}, \qquad u_2 = \frac{w_2}{\|w_2\|},\ \text{onde } w_2=v_2-\langle v_2,u_1\rangle u_1,\ \ldots\]

Aplicação: encontrar base ortonormal do espaço-solução de um sistema homogêneo — primeiro resolve-se o sistema (obtendo uma base qualquer), depois aplica-se Gram-Schmidt.

Exemplo: solução geral \(s(-2,2,1,0)+t(1,-8,0,1)\) \(\to\) base ortonormal \(\{u_1,u_2\}\) do espaço-solução via a forma alternativa.

Resumo da aula

  • Conjuntos ortogonais não nulos são LI; em um espaço de dimensão \(n\), \(n\) vetores ortogonais não nulos já formam base.
  • Em base ortonormal, as coordenadas de qualquer vetor são obtidas por produtos internos (coeficientes de Fourier) — sem resolver sistemas.
  • Processo de Gram-Schmidt: transforma qualquer base em base ortogonal (e, normalizando, ortonormal), subtraindo projeções sucessivas.
  • O processo se aplica igualmente a subespaços, incluindo espaços-solução de sistemas homogêneos.

Referências

  • Larson, R. Elementos de Álgebra Linear, 8ª edição. Capítulo 5 — Espaços com Produto Interno (Seção 5.3).
  • Anton, H. & Rorres, C. Álgebra Linear com Aplicações. 10ª ed. Bookman.
  • Lay, D. C. Álgebra Linear e suas Aplicações. 4ª ed. Pearson.
  • Strang, G. Introdução à Álgebra Linear. 4ª ed. LTC.