Tensões e Correntes Senoidais e Fasores

Por que Corrente Alternada?

• A geração e transmissão de energia elétrica é feita em corrente alternada (CA)
• A rede elétrica brasileira opera em 60 Hz
• Transformadores só funcionam em CA — permitem elevar/reduzir tensões com alta eficiência
• A análise em CA é fundamental para: motores, filtros, antenas, conversores de energia

Sistema de Geração, Transmissão e Distribuição

Período e Frequência

O período \(T\) é o tempo de um ciclo completo; a frequência \(f\) é o número de ciclos por segundo, e a frequência angular \(\omega\) relaciona-se com \(f\) por:

\[f = \frac{1}{T} \quad [\text{Hz}] \qquad\qquad \omega = 2\pi f \quad [\text{rad/s}]\]

Rede elétrica brasileira: \(f = 60 \text{ Hz} \implies T = 16{,}7 \text{ ms} \implies \omega \approx 377 \text{ rad/s}\)

Fase e Defasagem

Dois sinais com a mesma frequência podem ter fases diferentes:

\[v_1(t) = V_{m1}\cos(\omega t + \phi_1) \qquad\qquad v_2(t) = V_{m2}\cos(\omega t + \phi_2)\]

• Se \(\phi_1 > \phi_2\): \(v_1\) adianta \(v_2\) em \((\phi_1-\phi_2)\); se \(\phi_1 < \phi_2\): \(v_1\) atrasa \(v_2\) em \((\phi_2-\phi_1)\)
• Se \(\phi_1 = \phi_2\): sinais em fase; se \(|\phi_1-\phi_2| = 180°\): sinais em oposição de fase

Fase e Defasagem — Exemplo

\[v_1(t) = \cos(\omega t + 45°) \qquad\qquad v_2(t) = \cos(\omega t - 45°)\]

Valor Eficaz (RMS)

Para uma senoide \(v(t) = V_m \cos(\omega t + \phi)\):

\[V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T v^2(t)\,dt} = \frac{V_m}{\sqrt{2}} \approx 0{,}707\, V_m\]

Exemplos práticos:

Motivação para Fasores

A análise direta no domínio do tempo é trabalhosa. Exemplo: circuito RLC em série com excitação senoidal requer resolver equação diferencial:

\[L\frac{di}{dt} + Ri + \frac{1}{C}\int i\,dt = V_m\cos(\omega t)\]

Solução: usar fasores — representação complexa de sinais senoidais que transforma equações diferenciais em equações algébricas.

O Conceito de Fasor

Um fasor é um número complexo que representa amplitude e fase de uma senoide.

Usando a fórmula de Euler: \(e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta\)

A senoide \(v(t) = V_m\cos(\omega t + \phi)\) é a parte real de:

\[v(t) = \text{Re}\left[V_m e^{j(\omega t + \phi)}\right] = \text{Re}\left[V_m e^{j\phi} \cdot e^{j\omega t}\right]\]

O fasor de \(v(t)\) é o número complexo (sem o fator \(e^{j\omega t}\)):

\[\mathbf{V} = V_m e^{j\phi} = V_m\angle\phi \qquad \text{ou, na forma retangular,} \qquad \mathbf{V} = V_m\cos\phi + jV_m\sin\phi\]

Formas de Representação Fasorial

Um fasor \(\mathbf{V} = V_m\angle\phi\) pode ser escrito em três formas equivalentes:

Conversões:

\[V_m = \sqrt{a^2 + b^2}, \qquad \phi = \arctan\!\left(\frac{b}{a}\right), \qquad a = V_m\cos\phi, \qquad b = V_m\sin\phi\]

Transformação Tempo → Fasor

Domínio do tempo → Domínio fasorial:

\[v(t) = V_m\cos(\omega t + \phi) \quad\longleftrightarrow\quad \mathbf{V} = V_m\angle\phi\]

Exemplos:

Para o último exemplo: \(-\cos(\theta) = \cos(\theta \pm 180°)\). Para seno: \(A\sin(\omega t + \phi) = A\cos(\omega t + \phi - 90°)\)

Derivada e Integral no Domínio Fasorial

Uma das grandes vantagens dos fasores:

Verificação: se \(v(t) = V_m\cos(\omega t + \phi)\), então

\[\frac{dv}{dt} = -\omega V_m\sin(\omega t+\phi) = \omega V_m\cos(\omega t+\phi+90°)\]

No domínio fasorial: \(j\omega \cdot V_m\angle\phi = \omega V_m\angle(\phi+90°)\) ✓

Diagrama Fasorial

O diagrama fasorial representa fasores no plano complexo:

• Eixo real (\(x\)): parte real; eixo imaginário (\(y\)): parte imaginária
• Módulo: comprimento da seta; ângulo: medido do eixo real positivo, sentido anti-horário

Útil para visualizar: defasagem entre tensão e corrente, adição de fasores (lei dos paralelogramos) e verificação de resultados.

Diagrama Fasorial — Exemplo

\[\mathbf{V}_1 = 5\angle 30^\circ \qquad\qquad \mathbf{V}_2 = 3\angle{-45^\circ}\]

Adição de Fasores

A adição de sinais senoidais de mesma frequência é feita algebricamente no domínio fasorial.

Exemplo: \(v(t) = 12\cos(\omega t + 60°) + 8\cos(\omega t - 30°)\)

Passo 1 — forma retangular: \(\mathbf{V}_1 = 12\angle 60° = 6{,}00 + j10{,}39 \qquad \mathbf{V}_2 = 8\angle{-30°} = 6{,}93 - j4{,}00\)

Passo 2 — somar: \(\mathbf{V} = \mathbf{V}_1 + \mathbf{V}_2 = 12{,}93 + j6{,}39\)

Passo 3 — forma polar: \(|\mathbf{V}| = 14{,}43, \qquad \phi = 26{,}3°\)

\[\therefore\quad v(t) = 14{,}43\cos(\omega t + 26{,}3°)\]

Adição de Fasores — Diagrama

Resumo: Domínio do Tempo vs. Fasorial

Exemplo Completo (1/2)

Problema: Encontre a senoide equivalente \(v(t) = v_1(t) + v_2(t)\), onde:

\[v_1(t) = 20\cos(377t + 45°) \text{ V}, \quad v_2(t) = 10\cos(377t - 60°) \text{ V}\]

Solução:

\[\mathbf{V}_1 = 20\angle 45° = 14{,}14 + j14{,}14\]

\[\mathbf{V}_2 = 10\angle{-60°} = 5{,}00 - j8{,}66\]

\[\mathbf{V} = \mathbf{V}_1 + \mathbf{V}_2 = 19{,}14 + j5{,}48\]

Exemplo Completo (2/2)

Convertendo \(\mathbf{V} = 19{,}14 + j5{,}48\) para a forma polar:

\[|\mathbf{V}| = \sqrt{19{,}14^2 + 5{,}48^2} = 19{,}91 \text{ V}\]

\[\phi = \arctan\!\left(\frac{5{,}48}{19{,}14}\right) = 16{,}0°\]

\[\boxed{v(t) = 19{,}91\cos(377t + 16{,}0°) \text{ V}}\]

Exercícios

1. Converta para a forma fasorial: \(v(t) = 15\sin(200t - 20°)\) V.
2. Dois sinais \(i_1(t) = 4\cos(\omega t + 15°)\) A e \(i_2(t) = 6\cos(\omega t - 75°)\) A alimentam o mesmo nó. Determine \(i(t) = i_1(t) + i_2(t)\) usando fasores.
3. Calcule o valor eficaz de \(v(t) = 220\sqrt{2}\cos(377t)\) V e identifique a aplicação prática desse valor.
4. Mostre, a partir da definição de fasor, que a integral de \(v(t) = V_m\cos(\omega t+\phi)\) corresponde, no domínio fasorial, a \(\mathbf{V}/(j\omega)\).