Relações Tensão-Corrente em CA

Impedância: A Grande Ideia

No domínio fasorial, a relação tensão-corrente para qualquer elemento linear é:

\[\mathbf{V} = \mathbf{Z}\,\mathbf{I}\]

onde \(\mathbf{Z}\) é a impedância — generalização da resistência para CA.

Forma geral: \(\mathbf{Z} = R + jX\) \([\Omega]\), onde \(R\) é a resistência (parte real) e \(X\) é a reatância (parte imaginária).

Resistor em CA

No domínio do tempo: \(v(t) = R\,i(t)\). Se \(i(t) = I_m\cos(\omega t+\theta)\), então \(v(t) = RI_m\cos(\omega t+\theta) = V_m\cos(\omega t+\theta)\), com \(V_m = RI_m\) e mesma fase.

No domínio fasorial: \(\mathbf{V} = R\,\mathbf{I} \implies \mathbf{Z}_R = R\)

• Tensão e corrente em fase; impedância puramente real (\(\mathbf{Z}_R = R\angle 0°\)); dissipa energia.

Resistor em CA — Forma de Onda

Indutor em CA

No domínio do tempo: \(v(t) = L\dfrac{di(t)}{dt}\). Se \(i(t) = I_m\cos(\omega t+\theta)\), então \(v(t) = \omega L I_m\cos(\omega t+\theta+90°)\).

No domínio fasorial (usando \(\frac{d}{dt}\to j\omega\)): \(\mathbf{V} = j\omega L\,\mathbf{I} \implies \mathbf{Z}_L = j\omega L = jX_L\)

• Tensão adianta a corrente em \(90°\) (“ELI”); reatância indutiva \(X_L=\omega L\) cresce com a frequência; não dissipa energia.

Indutor em CA — Forma de Onda

Capacitor em CA

No domínio do tempo: \(i(t) = C\dfrac{dv(t)}{dt}\). Se \(v(t) = V_m\cos(\omega t+\phi)\), então \(i(t) = \omega C V_m\cos(\omega t+\phi+90°)\).

No domínio fasorial: \(\mathbf{I} = j\omega C\,\mathbf{V} \implies \mathbf{Z}_C = \dfrac{1}{j\omega C} = -jX_C\)

• Corrente adianta a tensão em \(90°\) (“ICE”); reatância capacitiva \(X_C=\dfrac{1}{\omega C}\) decresce com a frequência; não dissipa energia.

Capacitor em CA — Forma de Onda

Reatância: Resistência a Variações

A reatância \(X\) mede a oposição ao fluxo de corrente CA devida ao armazenamento de energia:

Reatância — Gráficos

O Mnemônico ELI the ICEman

Indutor — ELI: \(\mathbf{Z}_L = j\omega L = \omega L\angle 90°\), logo \(\mathbf{V}_L = j\omega L\,\mathbf{I} \implies \phi_V = \phi_I + 90°\) — a tensão está \(90°\) à frente da corrente.

Capacitor — ICE: \(\mathbf{Z}_C = \dfrac{1}{j\omega C} = \dfrac{1}{\omega C}\angle{-90°}\), logo \(\mathbf{V}_C = \dfrac{\mathbf{I}}{j\omega C} \implies \phi_V = \phi_I - 90°\) — a tensão está \(90°\) atrás da corrente.

Admitância

A admitância \(\mathbf{Y}\) é o inverso da impedância:

\[\mathbf{Y} = \frac{1}{\mathbf{Z}} = G + jB \qquad [\text{S} = \Omega^{-1}]\]

\(G\) é a condutância (parte real) e \(B\) é a susceptância (parte imaginária).

Impedâncias em Série e Paralelo

As mesmas regras do CC se aplicam no domínio fasorial:

Série: \(\mathbf{Z}_{eq} = \mathbf{Z}_1 + \mathbf{Z}_2 + \cdots + \mathbf{Z}_N \qquad\) Divisor de tensão: \(\mathbf{V}_k = \dfrac{\mathbf{Z}_k}{\mathbf{Z}_{eq}}\,\mathbf{V}_{total}\)

Paralelo: \(\dfrac{1}{\mathbf{Z}_{eq}} = \dfrac{1}{\mathbf{Z}_1} + \dfrac{1}{\mathbf{Z}_2} + \cdots \qquad\) Divisor de corrente (dois elementos): \(\mathbf{I}_1 = \dfrac{\mathbf{Z}_2}{\mathbf{Z}_1+\mathbf{Z}_2}\,\mathbf{I}_{total}\)

Exemplo 1: Indutor em CA

Problema: Um indutor de \(L = 10\text{ mH}\) tem tensão \(v(t) = 50\cos(2000t + 30°)\) V. Encontre a corrente \(i(t)\).

Solução:

1. Fasor da tensão: \(\mathbf{V} = 50\angle 30°\) V
2. Impedância do indutor: \(\mathbf{Z}_L = j\omega L = j(2000)(0{,}01) = j20\ \Omega = 20\angle 90°\ \Omega\)
3. Corrente fasorial: \(\mathbf{I} = \dfrac{\mathbf{V}}{\mathbf{Z}_L} = \dfrac{50\angle 30°}{20\angle 90°} = 2{,}5\angle{-60°}\ \text{A}\)

\[\boxed{i(t) = 2{,}5\cos(2000t - 60°)\ \text{A}}\]

A corrente atrasa a tensão em \(90°\), como esperado para um indutor.

Exemplo 2: Capacitor em CA

Problema: Um capacitor de \(C = 100\,\mu\text{F}\) tem corrente \(i(t) = 8\cos(200t + 15°)\) mA. Encontre a tensão \(v(t)\).

Solução:

1. Fasor da corrente: \(\mathbf{I} = 8\angle 15°\) mA
2. Impedância do capacitor: \(\mathbf{Z}_C = \dfrac{1}{j\omega C} = \dfrac{1}{j(200)(100\times10^{-6})} = -j50\ \Omega = 50\angle{-90°}\ \Omega\)
3. Tensão fasorial: \(\mathbf{V} = \mathbf{Z}_C\,\mathbf{I} = (50\angle{-90°})(8\times10^{-3}\angle 15°) = 0{,}4\angle{-75°}\ \text{V}\)

\[\boxed{v(t) = 0{,}4\cos(200t - 75°)\ \text{V}}\]

A tensão atrasa a corrente em \(90°\), como esperado para um capacitor.

Exemplo 3: Circuito RL Série

Problema: Circuito com \(R = 3\,\Omega\) e \(L = 4\text{ mH}\) em série, alimentado por \(v_s(t) = 10\cos(500t)\) V. Encontre a corrente e as tensões em cada elemento.

Exemplo 3 — Solução (1/2)

\[\mathbf{Z}_{RL} = R + j\omega L = 3 + j(500)(0{,}004) = 3 + j2\ \Omega\]

\[|\mathbf{Z}| = \sqrt{3^2+2^2} = \sqrt{13} \approx 3{,}61\ \Omega, \qquad \phi = \arctan\!\left(\frac{2}{3}\right) \approx 33{,}7°\]

\[\mathbf{I} = \frac{\mathbf{V}_s}{\mathbf{Z}} = \frac{10\angle 0°}{3{,}61\angle 33{,}7°} = 2{,}77\angle{-33{,}7°}\ \text{A}\]

Exemplo 3 — Solução (2/2)

\[\mathbf{V}_R = R\,\mathbf{I} = 3(2{,}77\angle{-33{,}7°}) = 8{,}31\angle{-33{,}7°}\ \text{V}\]

\[\mathbf{V}_L = j\omega L\,\mathbf{I} = (2\angle 90°)(2{,}77\angle{-33{,}7°}) = 5{,}54\angle 56{,}3°\ \text{V}\]

\[\boxed{i(t) = 2{,}77\cos(500t-33{,}7°)\ \text{A}}\]

Exercícios

1. Um resistor de \(R = 100\,\Omega\) tem corrente \(i(t) = 2\cos(1000t)\) A. Encontre \(v(t)\) e a impedância \(\mathbf{Z}_R\).
2. Um indutor de \(L = 50\) mH opera em \(\omega = 377\) rad/s. Calcule \(X_L\) e \(\mathbf{Z}_L\).
3. Um capacitor de \(C = 220\,\mu\text{F}\) opera em \(f = 60\) Hz. Calcule \(X_C\) e \(\mathbf{Z}_C\).
4. Para o circuito RL do Exemplo 3, recalcule \(\mathbf{I}\), \(\mathbf{V}_R\) e \(\mathbf{V}_L\) se a frequência dobrar (\(\omega = 1000\) rad/s).
5. Dois elementos com \(\mathbf{Z}_1 = 4+j3\ \Omega\) e \(\mathbf{Z}_2 = 2-j2\ \Omega\) estão em paralelo. Calcule \(\mathbf{Z}_{eq}\) usando admitâncias.