Resistor

Resistor \(R\), corrente \(i(t)\), tensão \(v(t)\), Lei de Ohm:

\[i(t) = I_m\cos(\omega t + \phi_i) \rightarrow v(t) = R i(t) = R I_m\cos(\omega t + \phi_i)\]

Forma fasorial: \(\;\mathbf{V} = R \mathbf{I} \qquad \rightarrow \qquad \mathbf{V} = V_m\angle\phi_v \text{ e } \mathbf{I} = I_m\angle\phi_i\)

Indutor

Indutor \(L\), corrente \(i(t)\), tensão \(v(t)\):

\[i(t) = I_m\cos(\omega t + \phi_i) \rightarrow v(t) = L\frac{di(t)}{dt} = \omega L I_m\cos(\omega t + \phi_i + 90°)\]

Forma fasorial: \(\;\mathbf{V} = j\omega L\, \mathbf{I} \qquad \rightarrow \qquad \mathbf{V} = V_m\angle\phi_v \text{ e } \mathbf{I} = I_m\angle\phi_i\text{, com }\phi_v = \phi_i + 90°\)

Capacitor

Capacitor \(C\), tensão \(v(t)\), corrente \(i(t)\):

\[v(t) = V_m\cos(\omega t + \phi_v) \rightarrow i(t) = C\frac{dv(t)}{dt} = \omega C V_m\cos(\omega t + \phi_v + 90°)\]

Forma fasorial: \(\;\mathbf{I} = j\omega C\, \mathbf{V} \qquad \rightarrow \qquad \mathbf{V} = V_m\angle\phi_v \text{ e } \mathbf{I} = I_m\angle\phi_i\text{, com }\phi_i = \phi_v + 90°\)

Resumo: Relações Tensão-Corrente

Elemento Domínio do Tempo Domínio Fasorial
\(R\) \(v = Ri\) \(\mathbf{V} = R\mathbf{I}\)
\(L\) \(v = L\dfrac{di}{dt}\) \(\mathbf{V} = j\omega L\mathbf{I}\)
\(C\) \(i = C\dfrac{dv}{dt}\) \(\mathbf{V} = \dfrac{\mathbf{I}}{j\omega C}\)

Reatância

A reatância \(X\) é a parte imaginária da impedância — mede a oposição ao fluxo de corrente CA devida ao armazenamento de energia nos campos elétrico/magnético. Ao contrário da resistência, não dissipa energia.

Elemento Reatância Impedância Com \(\omega\)
Resistor — \(R\) Independente
Indutor \(X_L = \omega L\) (indutiva) \(jX_L\) Cresce
Capacitor \(X_C = \dfrac{1}{\omega C}\) (capacitiva) \(-jX_C\) Decresce

Impedância

As três relações tensão-corrente no domínio fasorial,

\[\mathbf{V} = R\mathbf{I}, \qquad \mathbf{V} = j\omega L\mathbf{I}, \qquad \mathbf{V} = \frac{\mathbf{I}}{j\omega C}\]

podem ser escritas em termos da razão entre o fasor de tensão e o fasor de corrente:

\[\frac{\mathbf{V}}{\mathbf{I}} = R, \qquad \frac{\mathbf{V}}{\mathbf{I}} = j\omega L, \qquad \frac{\mathbf{V}}{\mathbf{I}} = \frac{1}{j\omega C}\]

Dessas três expressões, obtemos a Lei de Ohm na forma fasorial para qualquer elemento:

\[\boxed{\mathbf{Z} = \frac{\mathbf{V}}{\mathbf{I}} \qquad \text{ou} \qquad \mathbf{V} = \mathbf{Z}\mathbf{I}}\]

Impedância — Conceito

Definição

A impedância \(\mathbf{Z}\) de um circuito é a razão entre o fasor de tensão \(\mathbf{V}\) e o fasor de corrente \(\mathbf{I}\), medida em ohms (\(\Omega\)). Embora seja a razão entre dois fasores, não é ela própria um fasor — não corresponde a uma grandeza senoidal.

Casos extremos: em \(\omega=0\) (CC), \(\mathbf{Z}_L=0\) (curto-circuito) e \(\mathbf{Z}_C\to\infty\) (circuito aberto); em \(\omega\to\infty\), \(\mathbf{Z}_L\to\infty\) (aberto) e \(\mathbf{Z}_C=0\) (curto).

Forma retangular: \(\mathbf{Z} = R + jX\), com \(R=\text{Re}\,\mathbf{Z}\) (resistência) e \(X=\text{Im}\,\mathbf{Z}\) (reatância) — indutiva/atrasada se \(X>0\), capacitiva/adiantada se \(X<0\).

Forma polar: \(\mathbf{Z} = |\mathbf{Z}|\angle\theta\)

Impedância — Retangular e Polar

Comparando as formas retangular e polar, obtemos:

\[\boxed{\mathbf{Z} = R + jX = |\mathbf{Z}|\angle\theta}\]

onde

\[|\mathbf{Z}| = \sqrt{R^2+X^2}, \qquad \theta = \tan^{-1}\frac{X}{R}\]

e

\[R = |\mathbf{Z}|\cos\theta, \qquad X = |\mathbf{Z}|\sin\theta\]

Admitância

Definição

A admitância \(\mathbf{Y}\) é o recíproco da impedância, medida em siemens (S).

A admitância \(\mathbf{Y}\) de um elemento (ou circuito) é a razão entre o fasor de corrente através dele e o fasor de tensão sobre ele:

\[\boxed{\mathbf{Y} = \frac{1}{\mathbf{Z}} = \frac{\mathbf{I}}{\mathbf{V}}}\]

Como grandeza complexa, podemos escrever \(\mathbf{Y}\) como:

\[\boxed{\mathbf{Y} = G + jB}\]

onde \(G=\text{Re}\,\mathbf{Y}\) é a condutância e \(B=\text{Im}\,\mathbf{Y}\) é a susceptância, ambas em siemens.

Admitância — Condutância e Susceptância

Das Eqs. anteriores, \(G + jB = \dfrac{1}{R+jX}\). Racionalizando:

\[G + jB = \frac{1}{R+jX}\cdot\frac{R-jX}{R-jX} = \frac{R-jX}{R^2+X^2}\]

Igualando as partes real e imaginária:

\[\boxed{G = \frac{R}{R^2+X^2}, \qquad B = -\frac{X}{R^2+X^2}}\]

Atenção

Note que \(G \neq 1/R\), como ocorre em circuitos resistivos — a igualdade só vale quando \(X=0\).

Exemplo: Corrente em um Indutor

Problema: A tensão \(v(t) = 12\cos(60t + 45°)\) V é aplicada a um indutor de \(L = 0{,}1\) H. Determine a corrente em regime permanente.

Solução:

Fasor da tensão: \(\mathbf{V} = 12\angle 45°\) V

Impedância do indutor: \(\mathbf{Z}_L = j\omega L = j(60)(0{,}1) = j6 = 6\angle 90°\ \Omega\)

Corrente fasorial: \(\mathbf{I} = \dfrac{\mathbf{V}}{\mathbf{Z}_L} = \dfrac{12\angle 45°}{6\angle 90°} = 2\angle{-45°}\ \text{A}\)

\[\boxed{i(t) = 2\cos(60t - 45°)\ \text{A}}\]

Exemplo: Corrente em um Capacitor

Problema: A tensão \(v(t) = 10\cos(100t + 30°)\) V é aplicada a um capacitor de \(C = 50\ \mu\text{F}\). Determine a corrente através do capacitor.

Solução:

Fasor da tensão: \(\mathbf{V} = 10\angle 30°\) V

Impedância do capacitor: \(\mathbf{Z}_C = \dfrac{1}{j\omega C} = \dfrac{1}{j(100)(50\times10^{-6})} = -j200 = 200\angle{-90°}\ \Omega\)

Corrente fasorial: \(\mathbf{I} = \dfrac{\mathbf{V}}{\mathbf{Z}_C} = \dfrac{10\angle 30°}{200\angle{-90°}} = 0{,}05\angle 120°\ \text{A}\)

\[\boxed{i(t) = 50\cos(100t + 120°)\ \text{mA}}\]

Exemplo: Circuito RC Série

Problema: Determine a corrente \(i(t)\) e a tensão \(v(t)\) no circuito abaixo, com \(v_s(t) = 10\cos(4t)\) V.

Exemplo: Circuito RC Série — Solução

Fasor da fonte: \(\mathbf{V}_s = 10\angle 0°\) V, com \(\omega = 4\) rad/s

Impedância do capacitor: \(\mathbf{Z}_C = \dfrac{1}{j\omega C} = \dfrac{1}{j(4)(0{,}1)} = -j2{,}5\ \Omega\)

Impedância total: \(\mathbf{Z} = R + \mathbf{Z}_C = 5 - j2{,}5 = 5{,}59\angle{-26{,}57°}\ \Omega\)

Corrente fasorial: \(\mathbf{I} = \dfrac{\mathbf{V}_s}{\mathbf{Z}} = \dfrac{10\angle 0°}{5{,}59\angle{-26{,}57°}} = 1{,}789\angle 26{,}57°\ \text{A}\)

Tensão no capacitor: \(\mathbf{V} = \mathbf{I}\,\mathbf{Z}_C = (1{,}789\angle 26{,}57°)(2{,}5\angle{-90°}) = 4{,}47\angle{-63{,}43°}\ \text{V}\)

\[\boxed{i(t) = 1{,}789\cos(4t + 26{,}57°)\ \text{A}}\] \[\boxed{v(t) = 4{,}47\cos(4t - 63{,}43°)\ \text{V}}\]

Exemplo: Circuito RL Série

Problema: Determine a corrente \(i(t)\) e a tensão \(v(t)\) no circuito abaixo, com \(v_s(t) = 20\sin(10t + 30°)\) V.

Exemplo: Circuito RL Série — Solução

Convertendo para referência em cosseno: \(v_s(t) = 20\cos(10t + 30° - 90°) = 20\cos(10t - 60°)\) V

Fasor da fonte: \(\mathbf{V}_s = 20\angle{-60°}\) V, com \(\omega = 10\) rad/s

Impedância do indutor: \(\mathbf{Z}_L = j\omega L = j(10)(0{,}2) = j2\ \Omega\)

Impedância total: \(\mathbf{Z} = R + \mathbf{Z}_L = 4 + j2 = 4{,}47\angle 26{,}57°\ \Omega\)

Corrente fasorial: \(\mathbf{I} = \dfrac{\mathbf{V}_s}{\mathbf{Z}} = \dfrac{20\angle{-60°}}{4{,}47\angle 26{,}57°} = 4{,}47\angle{-86{,}57°}\ \text{A}\)

Tensão no indutor: \(\mathbf{V} = \mathbf{I}\,\mathbf{Z}_L = (4{,}47\angle{-86{,}57°})(2\angle 90°) = 8{,}94\angle 3{,}43°\ \text{V}\)

\[\boxed{i(t) = 4{,}47\cos(10t - 86{,}57°)\ \text{A}}\] \[\boxed{v(t) = 8{,}94\cos(10t + 3{,}43°)\ \text{V}}\]