Impedância, Admitância e Associações em CA

Impedância

No domínio fasorial, a relação tensão-corrente para qualquer elemento linear é:

\[\mathbf{V} = \mathbf{Z}\,\mathbf{I}\]

onde \(\mathbf{Z}\) é a impedância — generalização da resistência para CA.

Forma geral: \(\mathbf{Z} = R + jX\) \([\Omega]\), onde \(R\) é a resistência (parte real) e \(X\) é a reatância (parte imaginária).

Resistor em CA

No domínio do tempo: \(v(t) = R\,i(t)\). Se \(i(t) = I_m\cos(\omega t+\theta)\), então \(v(t) = RI_m\cos(\omega t+\theta) = V_m\cos(\omega t+\theta)\), com \(V_m = RI_m\) e mesma fase.

No domínio fasorial: \(\mathbf{V} = R\,\mathbf{I} \implies \mathbf{Z}_R = R\)

• Tensão e corrente em fase; impedância puramente real (\(\mathbf{Z}_R = R\angle 0°\)); dissipa energia.

Resistor em CA — Forma de Onda

Indutor em CA

No domínio do tempo: \(v(t) = L\dfrac{di(t)}{dt}\). Se \(i(t) = I_m\cos(\omega t+\theta)\), então \(v(t) = \omega L I_m\cos(\omega t+\theta+90°)\).

No domínio fasorial (usando \(\frac{d}{dt}\to j\omega\)): \(\mathbf{V} = j\omega L\,\mathbf{I} \implies \mathbf{Z}_L = j\omega L = jX_L\)

• Tensão adianta a corrente em \(90°\) (“ELI”); reatância indutiva \(X_L=\omega L\) cresce com a frequência; não dissipa energia.

Indutor em CA — Forma de Onda

Capacitor em CA

No domínio do tempo: \(i(t) = C\dfrac{dv(t)}{dt}\). Se \(v(t) = V_m\cos(\omega t+\phi)\), então \(i(t) = \omega C V_m\cos(\omega t+\phi+90°)\).

No domínio fasorial: \(\mathbf{I} = j\omega C\,\mathbf{V} \implies \mathbf{Z}_C = \dfrac{1}{j\omega C} = -jX_C\)

• Corrente adianta a tensão em \(90°\) (“ICE”); reatância capacitiva \(X_C=\dfrac{1}{\omega C}\) decresce com a frequência; não dissipa energia.

Capacitor em CA — Forma de Onda

Reatância: Resistência a Variações

A reatância \(X\) mede a oposição ao fluxo de corrente CA devida ao armazenamento de energia:

Reatância — Gráficos

O Mnemônico ELI the ICEman

Indutor — ELI: \(\mathbf{Z}_L = j\omega L = \omega L\angle 90°\), logo \(\mathbf{V}_L = j\omega L\,\mathbf{I} \implies \phi_V = \phi_I + 90°\) — a tensão está \(90°\) à frente da corrente.

Capacitor — ICE: \(\mathbf{Z}_C = \dfrac{1}{j\omega C} = \dfrac{1}{\omega C}\angle{-90°}\), logo \(\mathbf{V}_C = \dfrac{\mathbf{I}}{j\omega C} \implies \phi_V = \phi_I - 90°\) — a tensão está \(90°\) atrás da corrente.

Tabela Resumo: R, L e C em CA

Admitância

A admitância \(\mathbf{Y}\) é o inverso da impedância:

\[\mathbf{Y} = \frac{1}{\mathbf{Z}} = G + jB \qquad [\text{S} = \Omega^{-1}]\]

\(G\) é a condutância (parte real) e \(B\) é a susceptância (parte imaginária).

Admitância — R, L e C

Impedâncias em Série e Paralelo

As mesmas regras do CC se aplicam no domínio fasorial:

Série: \(\mathbf{Z}_{eq} = \mathbf{Z}_1 + \mathbf{Z}_2 + \cdots + \mathbf{Z}_N \qquad\) Divisor de tensão: \(\mathbf{V}_k = \dfrac{\mathbf{Z}_k}{\mathbf{Z}_{eq}}\,\mathbf{V}_{total}\)

Paralelo: \(\dfrac{1}{\mathbf{Z}_{eq}} = \dfrac{1}{\mathbf{Z}_1} + \dfrac{1}{\mathbf{Z}_2} + \cdots \qquad\) Divisor de corrente (dois elementos): \(\mathbf{I}_1 = \dfrac{\mathbf{Z}_2}{\mathbf{Z}_1+\mathbf{Z}_2}\,\mathbf{I}_{total}\)

Exemplo 1: Indutor em CA

Problema: Um indutor de \(L = 10\text{ mH}\) tem tensão \(v(t) = 50\cos(2000t + 30°)\) V. Encontre a corrente \(i(t)\).

Solução:

1. Fasor da tensão: \(\mathbf{V} = 50\angle 30°\) V
2. Impedância do indutor: \(\mathbf{Z}_L = j\omega L = j(2000)(0{,}01) = j20\ \Omega = 20\angle 90°\ \Omega\)
3. Corrente fasorial: \(\mathbf{I} = \dfrac{\mathbf{V}}{\mathbf{Z}_L} = \dfrac{50\angle 30°}{20\angle 90°} = 2{,}5\angle{-60°}\ \text{A}\)

\[\boxed{i(t) = 2{,}5\cos(2000t - 60°)\ \text{A}}\]

A corrente atrasa a tensão em \(90°\), como esperado para um indutor.

Exemplo 2: Capacitor em CA

Problema: Um capacitor de \(C = 100\,\mu\text{F}\) tem corrente \(i(t) = 8\cos(200t + 15°)\) mA. Encontre a tensão \(v(t)\).

Exemplo 2 — Solução

1. Fasor da corrente: \(\mathbf{I} = 8\angle 15°\) mA
2. Impedância do capacitor: \(\mathbf{Z}_C = \dfrac{1}{j\omega C} = \dfrac{1}{j(200)(100\times10^{-6})} = -j50\ \Omega = 50\angle{-90°}\ \Omega\)
3. Tensão fasorial: \(\mathbf{V} = \mathbf{Z}_C\,\mathbf{I} = (50\angle{-90°})(8\times10^{-3}\angle 15°) = 0{,}4\angle{-75°}\ \text{V}\)

\[\boxed{v(t) = 0{,}4\cos(200t - 75°)\ \text{V}}\]

A tensão atrasa a corrente em \(90°\), como esperado para um capacitor.

Exemplo 3: Circuito RL Série

Problema: Circuito com \(R = 3\,\Omega\) e \(L = 4\text{ mH}\) em série, alimentado por \(v_s(t) = 10\cos(500t)\) V. Encontre a corrente e as tensões em cada elemento.

Exemplo 3 — Solução (1/2)

\[\mathbf{Z}_{RL} = R + j\omega L = 3 + j(500)(0{,}004) = 3 + j2\ \Omega\]

\[|\mathbf{Z}| = \sqrt{3^2+2^2} = \sqrt{13} \approx 3{,}61\ \Omega, \qquad \phi = \arctan\!\left(\frac{2}{3}\right) \approx 33{,}7°\]

\[\mathbf{I} = \frac{\mathbf{V}_s}{\mathbf{Z}} = \frac{10\angle 0°}{3{,}61\angle 33{,}7°} = 2{,}77\angle{-33{,}7°}\ \text{A}\]

Exemplo 3 — Solução (2/2)

\[\mathbf{V}_R = R\,\mathbf{I} = 3(2{,}77\angle{-33{,}7°}) = 8{,}31\angle{-33{,}7°}\ \text{V}\]

\[\mathbf{V}_L = j\omega L\,\mathbf{I} = (2\angle 90°)(2{,}77\angle{-33{,}7°}) = 5{,}54\angle 56{,}3°\ \text{V}\]

\[\boxed{i(t) = 2{,}77\cos(500t-33{,}7°)\ \text{A}}\]

Divisor de Tensão em CA

Para impedâncias em série, a tensão sobre cada uma é proporcional à sua fração da impedância total — mesma regra do CC, agora com números complexos:

\[\mathbf{I} = \frac{\mathbf{V}_s}{\mathbf{Z}_1+\mathbf{Z}_2}, \qquad \mathbf{V}_1 = \frac{\mathbf{Z}_1}{\mathbf{Z}_1+\mathbf{Z}_2}\,\mathbf{V}_s, \qquad \mathbf{V}_2 = \frac{\mathbf{Z}_2}{\mathbf{Z}_1+\mathbf{Z}_2}\,\mathbf{V}_s\]

Divisor de Tensão — Exemplo Numérico

Problema: \(\mathbf{Z}_1 = 3+j4\ \Omega\) e \(\mathbf{Z}_2 = 6-j2\ \Omega\) em série são alimentados por \(\mathbf{V}_s = 20\angle 0°\) V. Encontre \(\mathbf{V}_1\) e \(\mathbf{V}_2\).

\[\mathbf{Z}_{eq} = \mathbf{Z}_1+\mathbf{Z}_2 = 9+j2\ \Omega = 9{,}22\angle 12{,}5°\ \Omega\]

Divisor de Tensão — Solução

\[\mathbf{V}_1 = \frac{3+j4}{9+j2}(20\angle 0°) = \frac{5\angle 53{,}1°}{9{,}22\angle 12{,}5°}(20\angle 0°) = 10{,}85\angle 40{,}6°\ \text{V}\]

\[\mathbf{V}_2 = \frac{6-j2}{9+j2}(20\angle 0°) = \frac{6{,}32\angle{-18{,}4°}}{9{,}22\angle 12{,}5°}(20\angle 0°) = 13{,}72\angle{-31{,}0°}\ \text{V}\]

Divisor de Corrente em CA

Para impedâncias em paralelo, a corrente em cada ramo é proporcional à admitância desse ramo (ou, com dois elementos, ao inverso das impedâncias cruzadas):

\[\mathbf{I}_1 = \frac{\mathbf{Z}_2}{\mathbf{Z}_1+\mathbf{Z}_2}\,\mathbf{I}_s, \qquad \mathbf{I}_2 = \frac{\mathbf{Z}_1}{\mathbf{Z}_1+\mathbf{Z}_2}\,\mathbf{I}_s \qquad \text{(apenas para dois ramos)}\]

Com \(N\) ramos, use admitâncias: \(\mathbf{I}_k = \dfrac{\mathbf{Y}_k}{\mathbf{Y}_{eq}}\,\mathbf{I}_s\), com \(\mathbf{Y}_{eq}=\sum_k \mathbf{Y}_k\).

Divisor de Corrente — Exemplo Numérico

Problema: \(\mathbf{Z}_1 = j10\ \Omega\) e \(\mathbf{Z}_2 = 5\ \Omega\) em paralelo são alimentados por \(\mathbf{I}_s = 4\angle 0°\) A. Encontre \(\mathbf{I}_1\) e \(\mathbf{I}_2\).

Solução:

\[\mathbf{I}_1 = \frac{\mathbf{Z}_2}{\mathbf{Z}_1+\mathbf{Z}_2}\,\mathbf{I}_s = \frac{5}{5+j10}(4\angle 0°) = \frac{5\angle 0°}{11{,}18\angle 63{,}4°}(4\angle 0°) = 1{,}79\angle{-63{,}4°}\ \text{A}\]

\[\mathbf{I}_2 = \frac{\mathbf{Z}_1}{\mathbf{Z}_1+\mathbf{Z}_2}\,\mathbf{I}_s = \frac{j10}{5+j10}(4\angle 0°) = \frac{10\angle 90°}{11{,}18\angle 63{,}4°}(4\angle 0°) = 3{,}58\angle 26{,}6°\ \text{A}\]

Note que \(|\mathbf{I}_1|+|\mathbf{I}_2| \neq |\mathbf{I}_s|\): os módulos não se somam diretamente porque as correntes estão defasadas entre si (apenas a soma fasorial reconstitui \(\mathbf{I}_s\)).

Transformação Estrela-Triângulo (Y-\(\Delta\))

Circuitos com impedâncias que não estão em série nem em paralelo puro (ex.: pontes, redes com três terminais) podem ser simplificados convertendo entre as configurações \(\Delta\) e \(Y\):

Fórmulas de Conversão Y-\(\Delta\)

De \(\Delta\) para \(Y\) (divide pela soma das impedâncias do triângulo):

\[\mathbf{Z}_1 = \frac{\mathbf{Z}_{12}\mathbf{Z}_{31}}{\mathbf{Z}_{12}+\mathbf{Z}_{23}+\mathbf{Z}_{31}}, \quad \mathbf{Z}_2 = \frac{\mathbf{Z}_{12}\mathbf{Z}_{23}}{\mathbf{Z}_{12}+\mathbf{Z}_{23}+\mathbf{Z}_{31}}, \quad \mathbf{Z}_3 = \frac{\mathbf{Z}_{23}\mathbf{Z}_{31}}{\mathbf{Z}_{12}+\mathbf{Z}_{23}+\mathbf{Z}_{31}}\]

De \(Y\) para \(\Delta\) (soma dos produtos dois a dois, dividida pelo braço oposto):

\[\mathbf{Z}_{12} = \frac{\mathbf{Z}_1\mathbf{Z}_2+\mathbf{Z}_2\mathbf{Z}_3+\mathbf{Z}_3\mathbf{Z}_1}{\mathbf{Z}_3}, \quad \mathbf{Z}_{23} = \frac{\mathbf{Z}_1\mathbf{Z}_2+\mathbf{Z}_2\mathbf{Z}_3+\mathbf{Z}_3\mathbf{Z}_1}{\mathbf{Z}_1}, \quad \mathbf{Z}_{31} = \frac{\mathbf{Z}_1\mathbf{Z}_2+\mathbf{Z}_2\mathbf{Z}_3+\mathbf{Z}_3\mathbf{Z}_1}{\mathbf{Z}_2}\]

Transformação Y-\(\Delta\) — Exemplo Numérico

Problema: Um triângulo balanceado tem \(\mathbf{Z}_{12}=\mathbf{Z}_{23}=\mathbf{Z}_{31} = 12+j6\ \Omega\). Encontre a estrela equivalente.

Solução: pelo caso balanceado, \(\mathbf{Z}_Y = \dfrac{\mathbf{Z}_\Delta}{3} = \dfrac{12+j6}{3}\)

\[\boxed{\mathbf{Z}_1=\mathbf{Z}_2=\mathbf{Z}_3 = 4+j2\ \Omega}\]

Verificação (fórmula geral, braço \(\mathbf{Z}_1\)):

\[\mathbf{Z}_1 = \frac{(12+j6)(12+j6)}{3(12+j6)} = \frac{12+j6}{3} = 4+j2\ \Omega \quad\checkmark\]

Exercícios (1/2)

1. Um resistor de \(R = 100\,\Omega\) tem corrente \(i(t) = 2\cos(1000t)\) A. Encontre \(v(t)\) e a impedância \(\mathbf{Z}_R\).
2. Um indutor de \(L = 50\) mH opera em \(\omega = 377\) rad/s. Calcule \(X_L\) e \(\mathbf{Z}_L\).
3. Um capacitor de \(C = 220\,\mu\text{F}\) opera em \(f = 60\) Hz. Calcule \(X_C\) e \(\mathbf{Z}_C\).
4. Para o circuito RL do Exemplo 3, recalcule \(\mathbf{I}\), \(\mathbf{V}_R\) e \(\mathbf{V}_L\) se a frequência dobrar (\(\omega = 1000\) rad/s).

Exercícios (2/2)

5. Dois elementos com \(\mathbf{Z}_1 = 4+j3\ \Omega\) e \(\mathbf{Z}_2 = 2-j2\ \Omega\) estão em paralelo. Calcule \(\mathbf{Z}_{eq}\) usando admitâncias.
6. No divisor de tensão do primeiro exemplo desta seção, verifique por soma fasorial que \(\mathbf{V}_1+\mathbf{V}_2 = \mathbf{V}_s\).
7. Um triângulo tem \(\mathbf{Z}_{12}=10\ \Omega\), \(\mathbf{Z}_{23}=j5\ \Omega\) e \(\mathbf{Z}_{31}=-j5\ \Omega\). Calcule a estrela equivalente \(\mathbf{Z}_1,\mathbf{Z}_2,\mathbf{Z}_3\).