Teoremas de Circuitos: Panorama

Os mesmos teoremas de Circuitos Elétricos I se aplicam a CA, trocando resistências por impedâncias:

  • Superposição — decompõe um circuito com várias fontes em problemas menores, um por fonte.
  • Thévenin e Norton — substituem uma rede complexa vista de dois terminais por um equivalente simples.
  • Máxima transferência de potência — determina a carga que extrai a maior potência média de uma fonte real.

Pré-requisito dos teoremas

Todos exigem que o circuito seja linear. Em CA, exigem ainda que as fontes operem na mesma frequência \(\omega\), para que a soma de fasores tenha sentido.

Teorema da Superposição

Em um circuito linear com múltiplas fontes independentes, a resposta (tensão ou corrente) em qualquer elemento é a soma algébrica das respostas causadas por cada fonte atuando isoladamente, com as demais desativadas.

Regra de desativação de uma fonte independente:

Superposição em CA — Cuidados

Mesma frequência: some fasores

Se todas as fontes têm a mesma frequência \(\omega\), cada etapa gera um fasor e eles podem ser somados diretamente (como nos exemplos desta aula).

Frequências diferentes: some no tempo

Se as fontes têm frequências diferentes, os fasores de cada etapa não podem ser somados (não faz sentido somar números complexos associados a \(\omega\) distintos). Nesse caso, resolva cada etapa separadamente no domínio do tempo e some as formas de onda \(v(t)\) resultantes.

Superposição — Circuito de Exemplo

Dados: \(\mathbf{V}_s = 20\angle 0°\) V, \(\mathbf{I}_s = 3\angle 90°\) A, \(\mathbf{Z}_1 = 2\ \Omega\), \(\mathbf{Z}_2 = 4\ \Omega\), \(\mathbf{Z}_3 = -j2\ \Omega\). Objetivo: encontrar \(\mathbf{I}_3\).

Superposição — Passo 1: Apenas \(\mathbf{V}_s\)

Com \(\mathbf{I}_s\) desativada (circuito aberto), o circuito se reduz a \(\mathbf{V}_s\) e \(\mathbf{Z}_1\) em série com \(\mathbf{Z}_2 \| \mathbf{Z}_3\) — um divisor de tensão:

\[\mathbf{Z}_2\|\mathbf{Z}_3 = \frac{(4)(-j2)}{4-j2} = 0{,}8-j1{,}6\ \Omega\]

\[\mathbf{V}_A' = \mathbf{V}_s\cdot\frac{\mathbf{Z}_2\|\mathbf{Z}_3}{\mathbf{Z}_1+\mathbf{Z}_2\|\mathbf{Z}_3} = 20\cdot\frac{0{,}8-j1{,}6}{2{,}8-j1{,}6} = 11{,}09\angle{-33{,}7°}\ \text{V}\]

Superposição — Passo 2: Apenas \(\mathbf{I}_s\)

Com \(\mathbf{V}_s\) desativada (curto-circuito), \(\mathbf{Z}_1\), \(\mathbf{Z}_2\) e \(\mathbf{Z}_3\) ficam todos em paralelo, vistos pela fonte de corrente:

\[\mathbf{Z}_1\|\mathbf{Z}_2\|\mathbf{Z}_3 = \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{-j2}\right)^{-1} = 0{,}92-j0{,}62\ \Omega\]

\[\mathbf{V}_A'' = \mathbf{I}_s\cdot(\mathbf{Z}_1\|\mathbf{Z}_2\|\mathbf{Z}_3) = (3\angle 90°)(1{,}11\angle{-33{,}7°}) = 3{,}33\angle 56{,}3°\ \text{V}\]

Superposição — Resultado Final

Somando as duas contribuições (mesma frequência \(\omega\), soma de fasores):

\[\mathbf{V}_A = \mathbf{V}_A'+\mathbf{V}_A'' = 11{,}58\angle{-17{,}0°}\ \text{V}\]

\[\boxed{\mathbf{I}_3 = \frac{\mathbf{V}_A}{\mathbf{Z}_3} = \frac{11{,}58\angle{-17{,}0°}}{2\angle{-90°}} = 5{,}79\angle 73{,}0°\ \text{A}}\]

Verificação

O mesmo resultado é obtido resolvendo o circuito de uma vez por análise nodal (sem superposição) — confira como exercício.

Teorema de Thévenin

Qualquer rede linear de dois terminais \(a\)-\(b\) pode ser substituída por uma fonte de tensão \(\mathbf{V}_{th}\) em série com uma impedância \(\mathbf{Z}_{th}\), onde:

  • \(\mathbf{V}_{th}\) = tensão de circuito aberto entre \(a\) e \(b\);
  • \(\mathbf{Z}_{th}\) = impedância vista dos terminais \(a\)-\(b\) com as fontes independentes desativadas.

Thévenin — Cálculo de \(\mathbf{Z}_{th}\) com Fontes Dependentes

Warning

Se a rede contém fontes dependentes, elas não podem ser desativadas — apenas as fontes independentes o são. Nesse caso, use o método da fonte de teste:

  1. Desative todas as fontes independentes (mantenha as dependentes).
  2. Aplique uma fonte de teste \(\mathbf{I}_{teste}=1\angle 0°\) A (ou \(\mathbf{V}_{teste}\)) nos terminais \(a\)-\(b\).
  3. Calcule \(\mathbf{V}_{teste}\) resultante: \(\mathbf{Z}_{th} = \mathbf{V}_{teste}/\mathbf{I}_{teste}\).

Thévenin — Exemplo Numérico

Dados: \(\mathbf{V}_s=40\angle 0°\) V, \(\mathbf{Z}_1=4\ \Omega\), \(\mathbf{Z}_2=j8\ \Omega\), \(\mathbf{Z}_3=3-j4\ \Omega\) (rede do slide anterior).

\(\mathbf{V}_{th}\) (tensão de circuito aberto): como não há corrente por \(\mathbf{Z}_3\) (terminal \(a\) aberto), \(\mathbf{V}_{th}\) é a tensão no nó entre \(\mathbf{Z}_1\) e \(\mathbf{Z}_2\) — um divisor de tensão simples:

\[\mathbf{V}_{th} = \mathbf{V}_s\cdot\frac{\mathbf{Z}_2}{\mathbf{Z}_1+\mathbf{Z}_2} = 40\cdot\frac{j8}{4+j8} = 32+j16 = 35{,}78\angle 26{,}6°\ \text{V}\]

\(\mathbf{Z}_{th}\) (fontes desativadas: \(\mathbf{V}_s\to\) curto): \(\mathbf{Z}_1\|\mathbf{Z}_2\) em série com \(\mathbf{Z}_3\):

\[\mathbf{Z}_{th} = \mathbf{Z}_3 + \mathbf{Z}_1\|\mathbf{Z}_2 = (3-j4) + \frac{(4)(j8)}{4+j8} = \boxed{6{,}2-j2{,}4\ \Omega}\]

Teorema de Norton

Qualquer rede linear de dois terminais \(a\)-\(b\) pode ser substituída por uma fonte de corrente \(\mathbf{I}_n\) em paralelo com uma impedância \(\mathbf{Z}_n\), onde \(\mathbf{I}_n\) é a corrente de curto-circuito entre \(a\) e \(b\).

Relação direta com Thévenin: \(\mathbf{Z}_n = \mathbf{Z}_{th} \qquad\qquad \mathbf{I}_n = \dfrac{\mathbf{V}_{th}}{\mathbf{Z}_{th}}\)

Norton — Exemplo Numérico

Usando os valores do exemplo anterior (\(\mathbf{V}_{th}=35{,}78\angle 26{,}6°\) V, \(\mathbf{Z}_{th}=6{,}2-j2{,}4\ \Omega = 6{,}65\angle{-21{,}2°}\ \Omega\)):

\[\mathbf{Z}_n = \mathbf{Z}_{th} = 6{,}2-j2{,}4\ \Omega\]

\[\mathbf{I}_n = \frac{\mathbf{V}_{th}}{\mathbf{Z}_{th}} = \frac{35{,}78\angle 26{,}6°}{6{,}65\angle{-21{,}2°}} = \boxed{5{,}38\angle 47{,}7°\ \text{A}}\]

Tip

Essa é exatamente a transformação de fonte já conhecida de Circuitos Elétricos I, agora com impedâncias complexas no lugar de resistências.

Máxima Transferência de Potência — Dedução

Uma fonte real (equivalente de Thévenin \(\mathbf{V}_{th}\), \(\mathbf{Z}_{th}=R_{th}+jX_{th}\)) alimenta uma carga \(\mathbf{Z}_L=R_L+jX_L\). A potência média entregue à carga é:

\[P_L = \frac{1}{2}|\mathbf{I}|^2 R_L, \qquad \mathbf{I} = \frac{\mathbf{V}_{th}}{\mathbf{Z}_{th}+\mathbf{Z}_L}\]

Máxima Transferência de Potência — Casamento Conjugado

Maximizando \(P_L\) em relação a \(X_L\) e depois a \(R_L\) (derivadas parciais nulas), obtém-se a condição de casamento conjugado:

\[\boxed{\mathbf{Z}_L = \mathbf{Z}_{th}^{*} = R_{th}-jX_{th}}\]

Nessa condição, a potência máxima entregue é:

\[P_{max} = \frac{|\mathbf{V}_{th}|^2}{8R_{th}}\]

Máxima Transferência de Potência — Gráfico

Com \(X_L=-X_{th}\) já casado, \(P_L\) varia com \(R_L\) e atinge o máximo exatamente em \(R_L=R_{th}\):

Máxima Transferência — Exemplo Numérico

Usando o equivalente de Thévenin já calculado (\(\mathbf{V}_{th}=35{,}78\angle 26{,}6°\) V, \(\mathbf{Z}_{th}=6{,}2-j2{,}4\ \Omega\)):

\[\mathbf{Z}_L = \mathbf{Z}_{th}^{*} = 6{,}2+j2{,}4\ \Omega\]

\[P_{max} = \frac{|\mathbf{V}_{th}|^2}{8R_{th}} = \frac{35{,}78^2}{8(6{,}2)} = \boxed{25{,}8\ \text{W}}\]

Caso a carga seja restrita a puramente resistiva

Se \(\mathbf{Z}_L\) só puder ser real (\(X_L=0\), ex.: um resistor comum), o máximo ocorre em \(R_L=|\mathbf{Z}_{th}|\), com \(P_{max}=\dfrac{|\mathbf{V}_{th}|^2}{4\left(R_{th}+|\mathbf{Z}_{th}|\right)}\) — valor menor que o casamento conjugado (no exemplo anterior, \(24{,}9\) W em vez de \(25{,}8\) W).

Resumo dos Teoremas

Teorema Ideia central Resultado
Superposição Uma fonte por vez, some as respostas Válido p/ tensão e corrente
Thévenin Rede → fonte de tensão + impedância série \(\mathbf{V}_{th}\), \(\mathbf{Z}_{th}\)
Norton Rede → fonte de corrente + impedância paralela \(\mathbf{I}_n=\mathbf{V}_{th}/\mathbf{Z}_{th}\), \(\mathbf{Z}_n=\mathbf{Z}_{th}\)
Máxima potência Carga casada com a fonte \(\mathbf{Z}_L=\mathbf{Z}_{th}^{*}\), \(P_{max}=|\mathbf{V}_{th}|^2/8R_{th}\)

Exercícios

  1. No exemplo de superposição, resolva o circuito diretamente por análise nodal e confirme que \(\mathbf{I}_3\) coincide com o resultado obtido por superposição.
  2. Para a rede do exemplo de Thévenin, calcule a corrente de curto-circuito entre \(a\) e \(b\) diretamente e confirme que \(\mathbf{I}_{cc}=\mathbf{I}_n\).
  3. Encontre o equivalente de Thévenin visto pelos terminais \(a\)-\(b\) se \(\mathbf{Z}_3\) do exemplo for removido (terminais diretamente no nó entre \(\mathbf{Z}_1\) e \(\mathbf{Z}_2\)).
  4. Uma fonte com \(\mathbf{V}_{th}=100\angle 0°\) V e \(\mathbf{Z}_{th}=50+j30\ \Omega\) alimenta uma carga. Determine \(\mathbf{Z}_L\) para máxima transferência de potência e o valor de \(P_{max}\).
  5. Repita o exercício anterior supondo que a carga deva ser puramente resistiva.

Referências