Potência em Circuitos de Corrente Alternada

Potência em CA: Por que Importa

• Concessionárias faturam energia com base na potência ativa (kWh) — mas dimensionam a rede pela potência aparente (kVA).
• Cargas indutivas (motores, transformadores) consomem potência reativa, que não realiza trabalho útil mas ocupa capacidade do sistema.
• O fator de potência mede a eficiência com que a energia é convertida em trabalho útil.

Potência Instantânea

Para \(v(t) = V_m\cos(\omega t+\theta_v)\) e \(i(t) = I_m\cos(\omega t+\theta_i)\), a potência instantânea é:

\[p(t) = v(t)\,i(t) = V_mI_m\cos(\omega t+\theta_v)\cos(\omega t+\theta_i)\]

Usando a identidade produto-para-soma e definindo o ângulo de potência \(\theta=\theta_v-\theta_i\):

\[\boxed{p(t) = \underbrace{V_{rms}I_{rms}\cos\theta\,[1+\cos(2\omega t+2\theta_i)]}_{\text{parcela “resistiva”, sempre}\geq 0} \;-\; \underbrace{V_{rms}I_{rms}\sin\theta\,\sin(2\omega t+2\theta_i)}_{\text{parcela “reativa”, oscila em torno de }0}}\]

com \(V_{rms}=V_m/\sqrt{2}\), \(I_{rms}=I_m/\sqrt 2\). Note que \(p(t)\) oscila no dobro da frequência de \(v(t)\) e \(i(t)\).

Potência Instantânea — Visualização

Tensão, corrente e potência instantânea para uma carga indutiva com \(\theta=60°\). A área sombreada mostra os intervalos em que \(p(t)<0\): energia armazenada no elemento reativo é devolvida à fonte.

Potência Média (Ativa)

A potência média é o valor médio de \(p(t)\) ao longo de um período — apenas o primeiro termo da decomposição sobrevive à média (o segundo tem valor médio nulo):

\[\boxed{P = V_{rms}I_{rms}\cos\theta = \frac{1}{2}V_mI_m\cos(\theta_v-\theta_i)} \qquad [\text{W}]\]

Casos particulares: carga puramente resistiva (\(\theta=0\)): \(P=V_{rms}I_{rms}\). Carga puramente reativa (\(\theta=\pm 90°\)): \(P=0\) — o elemento não dissipa energia, apenas a troca com a fonte.

Potência Reativa

A amplitude da parcela oscilante “reativa” de \(p(t)\) define a potência reativa:

\[\boxed{Q = V_{rms}I_{rms}\sin\theta = \frac{1}{2}V_mI_m\sin(\theta_v-\theta_i)} \qquad [\text{var}]\]

Potência Reativa — Sinal por Elemento

Potência Aparente e Potência Complexa

A potência aparente é o produto dos valores eficazes, sem considerar a defasagem:

\[S = V_{rms}I_{rms} \qquad [\text{VA}]\]

A potência complexa combina \(P\) e \(Q\) em um único número complexo, calculado diretamente dos fasores:

\[\boxed{\mathbf{S} = \frac{1}{2}\mathbf{V}\mathbf{I}^{*} = \mathbf{V}_{rms}\mathbf{I}_{rms}^{*} = P+jQ}\]

onde \(\mathbf{I}^{*}\) é o conjugado do fasor de corrente. Note que \(|\mathbf{S}|=S\) (a apparente é o módulo da complexa).

Triângulo de Potências

As três grandezas — \(P\), \(Q\) e \(S\) — formam um triângulo retângulo, com o ângulo de potência \(\theta\) entre \(P\) e \(S\):

\[S = \sqrt{P^2+Q^2}, \qquad \theta = \arctan\!\left(\frac{Q}{P}\right), \qquad P = S\cos\theta, \qquad Q = S\sin\theta\]

Fator de Potência

Como \(\cos\theta\) é uma função par, o fp por si só não diz se a corrente adianta ou atrasa a tensão — por isso é sempre qualificado.

Fator de Potência — Natureza da Carga

Exemplo Numérico Completo

Dados: \(v(t) = 170\cos(\omega t)\) V, \(i(t) = 10\cos(\omega t-60°)\) A (mesmo exemplo do gráfico de \(p(t)\)).

\[V_{rms} = \frac{170}{\sqrt2}=120{,}2\ \text{V}, \qquad I_{rms}=\frac{10}{\sqrt2}=7{,}07\ \text{A}, \qquad \theta = 0-(-60°)=60°\]

\[P = V_{rms}I_{rms}\cos 60° = 425\ \text{W} \qquad\qquad Q = V_{rms}I_{rms}\sin 60° = 736{,}1\ \text{var}\]

\[S = V_{rms}I_{rms} = 850\ \text{VA} \qquad\qquad \text{fp} = \frac{P}{S} = 0{,}5 \text{ atrasado (indutivo)}\]

Correção do Fator de Potência — Motivação

Solução: instalar um banco de capacitores em paralelo com a carga indutiva, para fornecer parte da potência reativa localmente — sem alterar \(P\) nem a tensão da carga.

Correção do Fator de Potência — Método

O capacitor não altera \(P\) (não dissipa potência ativa); ele reduz apenas \(Q\), de \(Q_1\) (fp\(_1\)) para \(Q_2\) (fp\(_2\), desejado), fornecendo:

\[Q_c = Q_1-Q_2 = P(\tan\theta_1-\tan\theta_2)\]

Como a reatância capacitiva fornece \(Q_c = \omega C V_{rms}^2\) (potência reativa negativa, na convenção da carga):

\[\boxed{C = \frac{Q_c}{\omega V_{rms}^2}}\]

Correção do Fator de Potência — Exemplo Numérico

Dados: carga com \(P=1200\) W, fp\(_1=0{,}75\) atrasado, alimentada em \(V_{rms}=220\) V, \(f=60\) Hz. Deseja-se corrigir para fp\(_2=0{,}95\) atrasado.

\[\theta_1=\arccos(0{,}75)=41{,}4° \implies Q_1 = P\tan\theta_1 = 1058{,}3\ \text{var}, \quad S_1=\frac{P}{\text{fp}_1}=1600\ \text{VA}\]

\[\theta_2=\arccos(0{,}95)=18{,}2° \implies Q_2 = P\tan\theta_2 = 394{,}4\ \text{var}, \quad S_2=\frac{P}{\text{fp}_2}=1263{,}2\ \text{VA}\]

Correção do Fator de Potência — Capacitor de Compensação

\[Q_c = Q_1-Q_2 = 663{,}9\ \text{var}\]

\[C = \frac{Q_c}{\omega V_{rms}^2} = \frac{663{,}9}{(2\pi\cdot 60)(220)^2} = \boxed{36{,}4\ \mu\text{F}}\]

Máxima Transferência de Potência Média — Revisão

Já demonstrado na Unidade 4 em termos de fasores de pico; em termos de valores eficazes, para uma fonte de Thévenin \(\mathbf{V}_{th,rms}\), \(\mathbf{Z}_{th}=R_{th}+jX_{th}\):

\[\mathbf{Z}_L = \mathbf{Z}_{th}^{*} \quad\Longrightarrow\quad P_{max} = \frac{|\mathbf{V}_{th,rms}|^2}{4R_{th}}\]

Resumo das Potências em CA

Exercícios

1. Uma carga tem \(v(t)=311\cos(377t)\) V e \(i(t)=8\cos(377t+30°)\) A. Calcule \(P\), \(Q\), \(S\), \(\mathbf{S}\) e o fp, classificando sua natureza.
2. Mostre que, para uma carga puramente resistiva, \(p(t)\geq 0\) para todo \(t\) (nunca há retorno de energia à fonte).
3. Uma indústria consome \(P=50\) kW com fp\(=0{,}68\) atrasado, em \(V_{rms}=380\) V e \(f=60\) Hz. Dimensione o banco de capacitores (em \(\mu\)F, ligados em paralelo) para elevar o fp a \(0{,}95\).
4. Explique, usando o triângulo de potências, por que a correção do fator de potência com capacitores não altera a potência ativa consumida pela carga.
5. Duas cargas, \(\mathbf{S}_1 = 3+j4\) kVA e \(\mathbf{S}_2 = 5-j2\) kVA, estão em paralelo, alimentadas pela mesma tensão. Calcule a potência complexa total e o fp resultante.