Por que Laplace?

  • EDO \(\to\) difícil de manipular e de interligar em blocos
  • Laplace: deriva \(\to\) multiplica por \(s\)
  • Sistema passa a ser descrito por álgebra

Transformada de Laplace

\[\mathrm{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_0^{\infty} f(t)\,e^{-st}\,dt, \qquad s = \sigma + j\omega \in \mathbb{C}\]

\[\mathrm{L}\left\{\frac{d^n f}{dt^n}\right\} = s^n F(s) \qquad \text{(condições iniciais nulas)}\]

Propriedade Expressão
Linearidade \(\mathrm{L}\{\alpha f + \beta g\} = \alpha F(s) + \beta G(s)\)
Deslocamento em \(s\) \(\mathrm{L}\{e^{-at}f(t)\} = F(s+a)\)
Valor final \(\displaystyle\lim_{t\to\infty} f(t) = \lim_{s\to 0} sF(s)\)
Valor inicial \(f(0^+) = \displaystyle\lim_{s\to\infty} sF(s)\)

Pares Notáveis

\(f(t)\), \(t \geq 0\) \(F(s)\)
\(\delta(t)\) impulso \(1\)
\(u(t)\) degrau \(\dfrac{1}{s}\)
\(t\) rampa \(\dfrac{1}{s^2}\)
\(e^{-at}\) \(\dfrac{1}{s+a}\)
\(\sin(\omega t)\) \(\dfrac{\omega}{s^2+\omega^2}\)
\(\cos(\omega t)\) \(\dfrac{s}{s^2+\omega^2}\)

Dica

Tabelas completas em qualquer livro de sinais e sistemas (Ogata 2010; Nise 2015).

Função de Transferência

Definição

\[G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)}, \qquad \text{condições iniciais nulas}\]

Exemplo Mínimo: 1ª Ordem

Sistema genérico de 1ª ordem, ganho \(K\) e constante de tempo \(\tau\): \[\tau\,\dot{c}(t) + c(t) = K\,r(t)\]

Laplace (condições iniciais nulas): \[\tau s\,C(s) + C(s) = K\,R(s)\]

\[\boxed{G(s) = \frac{C(s)}{R(s)} = \frac{K}{\tau s+1}}\]

Nota

Três linhas — é só isso (Nise 2015).

Resposta ao Degrau

Entrada degrau unitário: \(r(t) = u(t) \;\Rightarrow\; R(s) = \dfrac{1}{s}\)

\[C(s) = G(s)\,R(s) = \frac{K}{s(\tau s+1)}\]

Frações parciais: \[\frac{K}{s(\tau s+1)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{\tau s+1}, \qquad A = K, \quad B = -K\tau\] \[C(s) = \frac{K}{s} - \frac{K}{s+\dfrac{1}{\tau}}\]

Transformada inversa (par \(e^{-at} \leftrightarrow \frac{1}{s+a}\)): \[\boxed{c(t) = K\left(1 - e^{-t/\tau}\right)u(t)}\]

Dica

Mesmo caminho vale para qualquer sistema de 1ª ordem — tema da próxima aula.

Forma Geral

\[G(s) = \frac{b_m s^m + \cdots + b_0}{a_n s^n + \cdots + a_0} = \frac{N(s)}{D(s)}\]

  • Raízes de \(N(s)\) \(\to\) zeros
  • Raízes de \(D(s)\) \(\to\) polos — equação característica

Zeros e Polos no Plano \(s\)

Zeros e polos genéricos de G(s) no plano s

Nota

Os polos determinam a resposta natural do sistema — tema das próximas aulas.

Exemplo: Massa-Mola-Amortecedor

\[m\,\ddot{x}(t) + b\,\dot{x}(t) + k\,x(t) = F(t)\]

Massa-Mola-Amortecedor — FT

\[m\,s^2 X(s) + b\,s\,X(s) + k\,X(s) = F(s)\]

\[\boxed{G(s) = \frac{X(s)}{F(s)} = \frac{1}{m s^2 + b s + k}}\]

Dica

Mesma matemática de um circuito RLC série — domínios físicos diferentes, mesmo modelo.

Exemplo: Circuito RLC

LKT (lei das tensões de Kirchhoff): \(v(t) = v_R(t) + v_L(t) + v_C(t)\)

\[v_R(t) = R\,i(t), \qquad v_L(t) = L\,\dot{i}(t), \qquad i(t) = C\,\dot{v}_C(t)\]

Circuito RLC — EDO e FT

Substituindo \(i(t) = C\,\dot v_C(t)\) na LKT:

\[\boxed{LC\,\ddot{v}_C(t) + RC\,\dot{v}_C(t) + v_C(t) = v(t)}\]

Laplace (condições iniciais nulas): \[LC\,s^2 V_C(s) + RC\,s\,V_C(s) + V_C(s) = V(s)\]

\[\boxed{G(s) = \frac{V_C(s)}{V(s)} = \frac{1}{LCs^2+RCs+1}}\]

Dica

Mesma estrutura do massa-mola-amortecedor: \(L\leftrightarrow m\), \(R\leftrightarrow b\), \(1/C\leftrightarrow k\).

Exemplo: Motor CC

Armadura: \(v_a = R_a i_a + L_a\dot{i}_a + K_b\omega\)    Eixo: \(J\dot\omega + b\,\omega = K_t i_a\)

Motor CC — FT

\[\boxed{\frac{\Omega(s)}{V_a(s)} = \frac{K_t}{(R_a+L_a s)(Js+b) + K_t K_b}}\]

Se \(L_a \approx 0\) (indutância desprezível) \(\to\) reduz a 1ª ordem:

\[\frac{\Omega(s)}{V_a(s)} \approx \frac{K}{\tau s + 1}\]

Diagrama de Blocos

  • Blocos — função de transferência do subsistema
  • Setas — sentido do sinal (unidirecional)
  • Somadores — soma/subtrai sinais
  • Pontos de derivação — mesmo sinal, dois destinos

Dica

Reduz sistemas interligados a uma única FT equivalente.

Série

\[G_{eq}(s) = G_1(s)\,G_2(s)\]

Paralelo

\[G_{eq}(s) = G_1(s) + G_2(s)\]

Realimentação

\[\boxed{G_{eq}(s) = \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}}\]

Importante

A fórmula mais usada do curso — memorize.

Exemplo: Múltiplas Malhas

Reduza de dentro para fora: malha interna \(\to\) série \(\to\) malha externa.

Solução — Passo a Passo

1. Malha interna (\(G_2\) com \(H_1\)): \[G_2'(s) = \frac{G_2(s)}{1+G_2(s)H_1(s)}\]

2. Série com \(G_1\) e \(G_3\): \[G_{13}'(s) = G_1(s)\,G_2'(s)\,G_3(s)\]

3. Malha externa (com \(H_2\)): \[\boxed{\frac{Y(s)}{R(s)} = \frac{G_1G_2G_3}{1+G_2H_1+G_1G_2G_3H_2}}\]

Exercícios

  1. Obtenha \(X(s)/F(s)\) para \(m=2\text{ kg}\), \(b=4\text{ N·s/m}\), \(k=8\text{ N/m}\).
  2. Para \(R_a=1\,\Omega\), \(L_a\approx0\), \(J=0{,}02\), \(b=0{,}1\), \(K_t=K_b=0{,}05\), obtenha \(\Omega(s)/V_a(s)\).
  3. Reduza \(G_1(s)\) e \(G_2(s)\) em série, com realimentação unitária negativa em torno do conjunto.
  4. \(G_1,G_2\) em paralelo, em série com \(G_3\), realimentação negativa por \(H(s)\). Obtenha \(Y(s)/R(s)\).
  5. Refaça a redução de múltiplas malhas invertendo a ordem — confirme que o resultado não muda.

Referências

Nise, Norman S. 2015. Engenharia de Sistemas de Controle. 7.ª ed. LTC.
Ogata, Katsuhiko. 2010. Engenharia de Controle Moderno. 5.ª ed. Prentice Hall.