Sistemas de Primeira Ordem

Sistema de Primeira Ordem — Forma Padrão

Todo sistema de primeira ordem (um único polo real, sem zeros) pode ser escrito na forma padrão:

\[\boxed{G(s) = \frac{K}{\tau s + 1} = \frac{K/\tau}{s+1/\tau}}\]

• \(K\) — ganho estático (ganho DC): \(K = G(0)\)
• \(\tau\) — constante de tempo [s]: quanto menor \(\tau\), mais rápida a resposta
• Polo único em \(s = -1/\tau\) (no semiplano esquerdo se \(\tau > 0\))

Exemplo Físico — Circuito RC

Polo de um Sistema de Primeira Ordem

Polo em \(s=-1/\tau\)

Quanto mais à esquerda o polo estiver no plano \(s\) (maior \(1/\tau\), menor \(\tau\)), mais rápida é a resposta do sistema.

Resposta ao Degrau

Para uma entrada degrau unitário \(U(s) = 1/s\):

\[Y(s) = G(s)\,U(s) = \frac{K}{\tau s+1}\cdot\frac{1}{s} = \frac{K}{s} - \frac{K\tau}{\tau s + 1}\]

Invertendo por Laplace:

\[\boxed{y(t) = K\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \quad t \geq 0}\]

• Resposta monotônica, sem oscilação nem sobressinal
• \(y(0) = 0\); \(y(\infty) = K\) (valor final, pelo teorema do valor final)

Resposta ao Degrau — Gráfico

Resposta ao degrau para diferentes constantes de tempo

Quanto menor \(\tau\), mais rapidamente a resposta se aproxima do valor final \(K\) (aqui, \(K=1\)).

A Constante de Tempo \(\tau\)

Especificações de Tempo — Primeira Ordem

Para um sistema de primeira ordem em resposta ao degrau, definem-se:

• Tempo de subida \(t_r\) (10%–90%): \(\quad t_r = \tau\,\ln(9) \approx 2{,}2\,\tau\)
• Tempo de acomodação \(t_s\) (critério de 2%): \(\quad t_s = 4\,\tau\)
• Tempo de acomodação \(t_s\) (critério de 1%): \(\quad t_s = 4{,}6\,\tau\)

Resposta à Rampa e ao Impulso

Sinais de teste padrão: (a) degrau, (b) rampa, (c) parabólico (Dorf and Bishop 2018, fig. 5.2)

Entrada rampa \(u(t) = t \implies U(s) = 1/s^2\):

\[y(t) = K\left(t - \tau + \tau e^{-t/\tau}\right) \;\xrightarrow{t\to\infty}\; K(t-\tau)\]

A saída rastreia a rampa com erro de regime permanente constante igual a \(K\tau\) (ou \(\tau\), se \(K=1\)) — antecipação do que veremos na Aula 6.

Entrada impulso \(u(t)=\delta(t) \implies U(s)=1\):

\[y(t) = \frac{K}{\tau}\,e^{-t/\tau}\]

Resposta ao impulso é a derivada da resposta ao degrau — propriedade geral de sistemas LIT.

Identificação Experimental de \(\tau\) e \(K\)

Dado um registro experimental da resposta ao degrau de amplitude \(A\):

1. \(K = \dfrac{y(\infty)}{A}\) (razão entre o valor final e a amplitude do degrau)
2. \(\tau\) = tempo para atingir 63,2% do valor final, ou
3. \(\tau\) = inverso da inclinação inicial normalizada: \(\tau = \dfrac{y(\infty)}{\dot y(0^+)}\)

A Realimentação Reduz a Constante de Tempo

Controle de velocidade: malha aberta (\(\tau=10\) s) x malha fechada, mesma planta (Dorf and Bishop 2018, fig. 4.13)

Mesma planta de primeira ordem; a realimentação reduz drasticamente a constante de tempo efetiva — motivação central para usar controle em malha fechada (retomado na Aula 6, erro de regime).

Exemplo Resolvido

Problema: Um sensor de temperatura tem resposta ao degrau que atinge 63,2% do valor final em 3 s e se estabiliza em 20 °C para uma entrada em degrau de 20 °C aplicada em \(t=0\).

Solução:

• \(K = 20/20 = 1\) (ganho unitário — a saída em regime é igual à entrada)
• \(\tau = 3\) s (tempo para 63,2%)

\[G(s) = \frac{1}{3s+1}, \qquad y(t) = 20\left(1-e^{-t/3}\right)\ °\text{C}\]

\[t_s \text{ (2\%)} = 4\tau = 12\text{ s}, \qquad t_r = 2{,}2\tau \approx 6{,}6\text{ s}\]

Exemplo em MATLAB

Mesmo problema do sensor de temperatura, usando o Control System Toolbox:

% Sensor de temperatura -- G(s) = 1/(3s+1), degrau de 20 C
K = 1; tau = 3; A = 20;

G = tf(K, [tau 1]);        % G(s) = K/(tau*s + 1)

figure;
step(A*G);                 % resposta ao degrau de amplitude A
grid on;
xlabel('Tempo (s)'); ylabel('y(t)  [°C]');
title('Resposta ao degrau -- G(s) = 1/(3s+1)');

S = stepinfo(A*G)          % tr, ts, valor final, etc.

Exemplo em Python (python-control)

Mesmo sistema, com a biblioteca python-control (usada nas simulações desta disciplina):

import control as ct
import matplotlib.pyplot as plt

K, tau, A = 1, 3, 20               # ganho, constante de tempo, amplitude do degrau
G = ct.tf([K], [tau, 1])           # G(s) = K/(tau*s + 1)

t, y = ct.step_response(A * G)
info = ct.step_info(A * G)         # RiseTime, SettlingTime, ...

plt.plot(t, y)
plt.xlabel('Tempo (s)'); plt.ylabel('y(t)  [°C]')
plt.title('Resposta ao degrau -- G(s) = 1/(3s+1)')
plt.grid(True)
plt.show()

Saída de ct.step_response para o exemplo do sensor de temperatura

Exercícios

1. Um sistema de primeira ordem tem \(\tau = 0{,}5\) s e \(K=2\). Escreva \(G(s)\), obtenha \(y(t)\) para entrada degrau unitário e calcule \(t_s\) (2%).
2. Um motor CC (aproximação de 1ª ordem) atinge 63,2% da velocidade final em 0,2 s. Estime \(\tau\) e o tempo necessário para atingir 98% da velocidade final.
3. A partir de \(y(t) = 5(1-e^{-2t})\), identifique \(K\), \(\tau\), o polo do sistema e o tempo de subida \(t_r\).
4. Mostre, a partir de \(Y(s)=G(s)/s\) com \(G(s)=K/(\tau s+1)\), os passos de frações parciais que levam a \(y(t) = K(1-e^{-t/\tau})\).
5. Explique por que a resposta ao impulso de um sistema de 1ª ordem é proporcional à derivada da resposta ao degrau, usando a propriedade de derivação da Transformada de Laplace.