Sistema de Primeira Ordem — Forma Padrão

Todo sistema de primeira ordem (um único polo real, sem zeros) pode ser escrito na forma padrão:

\[\boxed{G(s) = \frac{K}{\tau s + 1} = \frac{K/\tau}{s+1/\tau}}\]

  • \(K\) — ganho estático (ganho DC): \(K = G(0)\)
  • \(\tau\) — constante de tempo [s]: quanto menor \(\tau\), mais rápida a resposta
  • Polo único em \(s = -1/\tau\) (no semiplano esquerdo se \(\tau > 0\))

Tip

Exemplos físicos: circuito RC/RL, sistema térmico de primeira ordem, motor CC desprezando a indutância de armadura (Aula 2), nível de um tanque com escoamento livre.

Polo de um Sistema de Primeira Ordem

Polo em \(s=-1/\tau\)

Quanto mais à esquerda o polo estiver no plano \(s\) (maior \(1/\tau\), menor \(\tau\)), mais rápida é a resposta do sistema.

Resposta ao Degrau

Para uma entrada degrau unitário \(U(s) = 1/s\):

\[Y(s) = G(s)\,U(s) = \frac{K}{\tau s+1}\cdot\frac{1}{s} = \frac{K}{s} - \frac{K\tau}{\tau s + 1}\]

Invertendo por Laplace:

\[\boxed{y(t) = K\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \quad t \geq 0}\]

  • Resposta monotônica, sem oscilação nem sobressinal
  • \(y(0) = 0\); \(y(\infty) = K\) (valor final, pelo teorema do valor final)

Resposta ao Degrau — Gráfico

Resposta ao degrau para diferentes constantes de tempo

Quanto menor \(\tau\), mais rapidamente a resposta se aproxima do valor final \(K\) (aqui, \(K=1\)).

A Constante de Tempo \(\tau\)

Interpretação de \(\tau\)

Em \(t = \tau\), a resposta atinge 63,2% do valor final:

\[y(\tau) = K(1-e^{-1}) \approx 0{,}632\,K\]

\(t\) \(y(t)/K\) % do valor final
\(\tau\) \(1-e^{-1}\) 63,2%
\(2\tau\) \(1-e^{-2}\) 86,5%
\(3\tau\) \(1-e^{-3}\) 95,0%
\(4\tau\) \(1-e^{-4}\) 98,2%
\(5\tau\) \(1-e^{-5}\) 99,3%

Tip

Regra prática: a resposta é considerada acomodada após \(4\tau\) a \(5\tau\) (critério de 2% ou 1%).

Especificações de Tempo — Primeira Ordem

Para um sistema de primeira ordem em resposta ao degrau, definem-se:

  • Tempo de subida \(t_r\) (10%–90%): \(\quad t_r = \tau\,\ln(9) \approx 2{,}2\,\tau\)
  • Tempo de acomodação \(t_s\) (critério de 2%): \(\quad t_s = 4\,\tau\)
  • Tempo de acomodação \(t_s\) (critério de 1%): \(\quad t_s = 4{,}6\,\tau\)

Note

Não há sobressinal (\(M_p = 0\)) em um sistema de primeira ordem puro — o sobressinal só aparece em sistemas de ordem 2 ou superior com polos complexos, tema da próxima aula.

Resposta à Rampa e ao Impulso

Entrada rampa \(u(t) = t \implies U(s) = 1/s^2\):

\[y(t) = K\left(t - \tau + \tau e^{-t/\tau}\right) \;\xrightarrow{t\to\infty}\; K(t-\tau)\]

A saída rastreia a rampa com erro de regime permanente constante igual a \(K\tau\) (ou \(\tau\), se \(K=1\)) — antecipação do que veremos na Aula 6.

Entrada impulso \(u(t)=\delta(t) \implies U(s)=1\):

\[y(t) = \frac{K}{\tau}\,e^{-t/\tau}\]

Resposta ao impulso é a derivada da resposta ao degrau — propriedade geral de sistemas LIT.

Identificação Experimental de \(\tau\) e \(K\)

Dado um registro experimental da resposta ao degrau de amplitude \(A\):

  1. \(K = \dfrac{y(\infty)}{A}\) (razão entre o valor final e a amplitude do degrau)
  2. \(\tau\) = tempo para atingir 63,2% do valor final, ou
  3. \(\tau\) = inverso da inclinação inicial normalizada: \(\tau = \dfrac{y(\infty)}{\dot y(0^+)}\)

Tip

Esse procedimento gráfico é a base de métodos de identificação de sistemas usados na prática industrial (ex.: sintonia de malhas de temperatura e vazão).

Exemplo Resolvido

Problema: Um sensor de temperatura tem resposta ao degrau que atinge 63,2% do valor final em 3 s e se estabiliza em 20 °C para uma entrada em degrau de 20 °C aplicada em \(t=0\).

Solução:

  • \(K = 20/20 = 1\) (ganho unitário — a saída em regime é igual à entrada)
  • \(\tau = 3\) s (tempo para 63,2%)

\[G(s) = \frac{1}{3s+1}, \qquad y(t) = 20\left(1-e^{-t/3}\right)\ °\text{C}\]

\[t_s \text{ (2\%)} = 4\tau = 12\text{ s}, \qquad t_r = 2{,}2\tau \approx 6{,}6\text{ s}\]

Exercícios

  1. Um sistema de primeira ordem tem \(\tau = 0{,}5\) s e \(K=2\). Escreva \(G(s)\), obtenha \(y(t)\) para entrada degrau unitário e calcule \(t_s\) (2%).
  2. Um motor CC (aproximação de 1ª ordem) atinge 63,2% da velocidade final em 0,2 s. Estime \(\tau\) e o tempo necessário para atingir 98% da velocidade final.
  3. A partir de \(y(t) = 5(1-e^{-2t})\), identifique \(K\), \(\tau\), o polo do sistema e o tempo de subida \(t_r\).
  4. Mostre, a partir de \(Y(s)=G(s)/s\) com \(G(s)=K/(\tau s+1)\), os passos de frações parciais que levam a \(y(t) = K(1-e^{-t/\tau})\).
  5. Explique por que a resposta ao impulso de um sistema de 1ª ordem é proporcional à derivada da resposta ao degrau, usando a propriedade de derivação da Transformada de Laplace.

Referências