Sistemas de Segunda Ordem

Sistema de Segunda Ordem — Forma Padrão

Todo sistema de segunda ordem sem zeros pode ser escrito na forma padrão:

\[\boxed{G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}}\]

• \(\omega_n\) — frequência natural não amortecida [rad/s]
• \(\zeta\) — coeficiente de amortecimento (adimensional, \(\zeta \geq 0\))
• Ganho estático unitário: \(G(0)=1\)

Polos (raízes de \(s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2=0\)):

\[s_{1,2} = -\zeta\omega_n \pm j\omega_n\sqrt{1-\zeta^2} = -\zeta\omega_n \pm j\omega_d\]

onde \(\omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2}\) é a frequência natural amortecida.

Classificação pelo Amortecimento

Resposta ao Degrau — Comparação

Resposta ao degrau para diferentes valores de \(\zeta\), \(\omega_n=1\)

Geometria dos Polos no Plano \(s\)

Polos complexos conjugados e a geometria de \(\zeta\), \(\omega_n\), \(\omega_d\)

\[\sigma = \zeta\omega_n \quad (\text{parte real, atenuação})\qquad \theta = \cos^{-1}\zeta \quad (\text{ângulo com o eixo imaginário})\]

Retas radiais a partir da origem têm \(\zeta\) constante; arcos de raio \(\omega_n\) têm frequência natural constante.

Caso Subamortecido — Resposta ao Degrau

Para \(0 < \zeta < 1\), a resposta ao degrau unitário é:

\[y(t) = 1 - \frac{e^{-\zeta\omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}\sin\!\left(\omega_d t + \phi\right), \qquad \phi = \cos^{-1}\zeta\]

• Envoltória exponencial \(e^{-\zeta\omega_n t}\) modula uma oscilação senoidal de frequência \(\omega_d\)
• Quanto menor \(\zeta\), maior a oscilação (mais sobressinal); quanto menor \(\zeta\omega_n\), mais lenta a atenuação

Especificações da Resposta Transitória

Especificações de desempenho no domínio do tempo

Especificações — Fórmulas

Relação entre \(M_p\) e \(\zeta\)

O sobressinal \(M_p = e^{-\zeta\pi/\sqrt{1-\zeta^2}}\) depende apenas de \(\zeta\) — é a base para especificar \(\zeta\) a partir de um sobressinal desejado:

\[\zeta = \frac{-\ln(M_p)}{\sqrt{\pi^2+\ln^2(M_p)}}\]

Caso Criticamente Amortecido e Sobreamortecido

Criticamente amortecido (\(\zeta=1\)): polo duplo em \(s=-\omega_n\):

\[y(t) = 1 - e^{-\omega_n t}(1+\omega_n t)\]

• Resposta mais rápida sem oscilação nem sobressinal.

Sobreamortecido (\(\zeta>1\)): polos reais distintos \(s_{1,2} = -\zeta\omega_n \pm \omega_n\sqrt{\zeta^2-1}\):

\[y(t) = 1 + \frac{e^{s_1 t}}{s_2}\cdot\frac{s_2}{s_1-s_2}\cdots \quad\text{(soma de duas exponenciais)}\]

• Comporta-se como dois sistemas de 1ª ordem em cascata — o polo mais lento (mais próximo do eixo \(j\omega\)) domina a resposta.

Exemplo Resolvido

Problema: Projetar \(\omega_n\) e \(\zeta\) de um sistema de 2ª ordem padrão para \(M_p \leq 10\%\) e \(t_s \leq 2\) s (critério de 2%).

Solução:

1. De \(M_p=10\% \implies \zeta = \dfrac{-\ln(0{,}10)}{\sqrt{\pi^2+\ln^2(0{,}10)}} \approx 0{,}591\). Escolhendo \(\zeta = 0{,}6\) (margem de segurança).
2. De \(t_s = \dfrac{4}{\zeta\omega_n} \leq 2 \implies \omega_n \geq \dfrac{4}{0{,}6\times 2} = 3{,}33\text{ rad/s}\).

\[\boxed{\zeta = 0{,}6, \qquad \omega_n \geq 3{,}33 \text{ rad/s}}\]

Esse par \((\zeta,\omega_n)\) define uma região do plano \(s\) onde os polos de malha fechada devem estar — ideia central do projeto por LGR (Aula 7).

Exercícios

1. Para \(G(s) = \dfrac{25}{s^2+6s+25}\), identifique \(\omega_n\), \(\zeta\), os polos, \(M_p\), \(t_p\) e \(t_s\) (2%).
2. Um sistema de 2ª ordem tem sobressinal de 20% e tempo de pico de 1 s. Determine \(\zeta\), \(\omega_n\) e \(\omega_d\).
3. Mostre que, para \(\zeta=1\) (crítico), a resposta ao degrau é \(y(t)=1-e^{-\omega_nt}(1+\omega_nt)\), partindo de \(Y(s)=\omega_n^2/[s(s+\omega_n)^2]\).
4. Compare (qualitativamente, sem simular) as respostas de dois sistemas com mesmo \(\omega_n\) e \(\zeta=0{,}3\) e \(\zeta=0{,}9\): qual tem maior sobressinal? Qual acomoda mais rápido?
5. Um sistema deve satisfazer \(M_p\leq5\%\) e \(t_s\leq4\) s (critério de 2%). Determine a região permitida para \(\zeta\) e para \(\sigma=\zeta\omega_n\).