Erro de Regime Permanente

Erro de Regime Permanente

Para o sistema em malha fechada com realimentação unitária negativa, o erro atuante é \(e(t) = r(t) - y(t)\). O erro de regime permanente é:

\[e_{ss} = \lim_{t\to\infty} e(t) \overset{\text{TVF}}{=} \lim_{s\to 0} s\,E(s)\]

onde o Teorema do Valor Final (TVF) só se aplica se \(sE(s)\) tiver todos os polos no semiplano esquerdo (sistema em malha fechada estável).

Para a malha com direto \(G(s)\) e realimentação unitária:

\[E(s) = R(s) - Y(s) = \frac{R(s)}{1+G(s)}\qquad\implies\qquad e_{ss} = \lim_{s\to0}\frac{s\,R(s)}{1+G(s)}\]

Tipo de Sistema

• Tipo 0: nenhum integrador — erro finito para degrau, infinito para rampa
• Tipo 1: um integrador — erro nulo para degrau, finito para rampa
• Tipo 2: dois integradores — erro nulo para degrau e rampa, finito para parábola

Constantes de Erro Estático

Definidas a partir de \(G(s)\) de malha aberta (realimentação unitária):

Erros de regime permanente correspondentes:

\[e_{ss,\text{degrau}} = \frac{A}{1+K_p}\qquad e_{ss,\text{rampa}} = \frac{A}{K_v}\qquad e_{ss,\text{parábola}} = \frac{A}{K_a}\]

Tabela Erro × Tipo × Entrada

Para entradas de amplitude unitária (\(A=1\)):

Exemplo — Sistema Tipo 0 (Degrau)

\[G(s) = \frac{10}{(s+1)(s+4)} \quad\text{(malha aberta, tipo 0)}\]

\[K_p = \lim_{s\to0}G(s) = \frac{10}{4} = 2{,}5 \qquad\implies\qquad e_{ss} = \frac{1}{1+K_p} = \frac{1}{3{,}5} \approx 0{,}286\]

Sistema Tipo 0 sob degrau: erro constante em regime

Exemplo — Sistema Tipo 1 (Rampa)

\[G(s) = \frac{8}{s(s+1)(s+4)} \quad\text{(malha aberta, tipo 1)}\]

\[K_v = \lim_{s\to0}sG(s) = \frac{8}{1\times4} = 2 \qquad\implies\qquad e_{ss} = \frac{1}{K_v} = 0{,}5\]

Note (slide anterior, painel direito): a saída acompanha a rampa com um atraso constante de 0,5 unidades — o sistema tipo 1 rastreia rampas com erro finito, mas não nulo.

Por que Aumentar o Ganho Reduz (mas não Elimina) o Erro Tipo 0

Para o sistema tipo 0, \(e_{ss}=\dfrac{1}{1+K_p}\) com \(K_p \propto K\) (ganho do controlador/planta):

• Aumentar \(K\) aumenta \(K_p\) e reduz \(e_{ss}\), mas nunca o zera (assíntota em zero quando \(K\to\infty\))
• Aumentar \(K\) em excesso degrada a resposta transitória (mais sobressinal, possível instabilidade — Aulas 7–8)
• Para eliminar o erro ao degrau é necessário aumentar o tipo do sistema (adicionar um integrador — ação integral do controlador PID, Aula 9)

Erro para Sistemas com Realimentação Não-Unitária

Se a realimentação não é unitária (\(H(s)\neq1\), ex.: ganho do sensor), o erro correto é definido sobre o sinal atuante \(E(s) = R(s) - H(s)Y(s)\), e não simplesmente \(R(s)-Y(s)\).

Estabilidade: Pré-Requisito para o Erro de Regime Permanente

O TVF e as constantes de erro só são válidos se a malha fechada for estável — caso contrário \(e(t)\) não converge e “erro de regime permanente” não tem sentido.

Antes de calcular \(e_{ss}\), é preciso verificar a estabilidade. Para isso, sem calcular as raízes explicitamente, usamos o critério de Routh-Hurwitz.

Critério de Routh-Hurwitz

Dado o polinômio característico \(D(s) = a_ns^n + a_{n-1}s^{n-1} + \cdots + a_1 s + a_0\), monta-se o array de Routh:

\[ \begin{array}{c|ccccc} s^n & a_n & a_{n-2} & a_{n-4} & \cdots \\ s^{n-1} & a_{n-1} & a_{n-3} & a_{n-5} & \cdots \\ s^{n-2} & b_1 & b_2 & b_3 & \cdots \\ \vdots & \vdots & & & \\ s^0 & \ast & & & \end{array} \]

com \(b_1 = \dfrac{a_{n-1}a_{n-2}-a_na_{n-3}}{a_{n-1}}\), \(b_2 = \dfrac{a_{n-1}a_{n-4}-a_na_{n-5}}{a_{n-1}}\), e assim por diante, linha a linha.

Routh-Hurwitz — Exemplo

Problema: verificar a estabilidade de \(D(s) = s^3+6s^2+11s+K\) para \(K=6\) e depois encontrar a faixa de \(K>0\) que mantém o sistema estável.

\[ \begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & 11 \\ s^2 & 6 & K \\ s^1 & \dfrac{6\times11-1\times K}{6} = 11-\dfrac{K}{6} & 0\\ s^0 & K & \end{array} \]

Condições de estabilidade: todos os termos da 1ª coluna positivos:

\[K > 0 \qquad\text{e}\qquad 11-\frac{K}{6}>0 \implies K<66\]

\[\boxed{0 < K < 66}\] — para \(K=6\), o sistema é estável (dentro da faixa).

Casos Especiais do Array de Routh

• Zero na primeira coluna (linha não inteiramente nula): substitui-se o zero por \(\epsilon \to 0^+\) e continua-se o array, analisando o sinal quando \(\epsilon\to0\).
• Linha inteiramente nula: indica polos simétricos em relação à origem (par imaginário puro, ou pares reais simétricos). Forma-se um polinômio auxiliar com a linha anterior, deriva-se em \(s\), e os coeficientes substituem a linha nula.

Exercícios

1. Para \(G(s) = \dfrac{20}{(s+2)(s+5)}\) (malha aberta, realimentação unitária), classifique o tipo, calcule \(K_p\) e o erro de regime permanente ao degrau unitário.
2. Para \(G(s) = \dfrac{K}{s^2(s+3)}\), classifique o tipo e determine o erro para entradas degrau, rampa e parábola unitárias, para qualquer \(K>0\).
3. Um sistema tipo 1 deve ter \(e_{ss}\leq0{,}05\) para uma rampa de inclinação 2. Determine o valor mínimo de \(K_v\) necessário.
4. Monte o array de Routh para \(D(s)=s^4+2s^3+3s^2+4s+5\) e determine quantos polos estão no semiplano direito.
5. Para \(D(s) = s^3+2s^2+s+K\), use Routh-Hurwitz para encontrar a faixa de \(K>0\) que garante estabilidade.