Lugar Geométrico das Raízes (LGR)

Motivação

Considere a malha fechada com ganho ajustável \(K\):

\[T(s) = \frac{KG(s)}{1+KG(s)H(s)}\]

Os polos de malha fechada mudam de posição conforme \(K\) varia de \(0\) a \(\infty\) — e a resposta transitória (Aulas 3–5) e a estabilidade (Aula 6) dependem diretamente dessas posições.

O LGR permite visualizar como escolher \(K\) para atender especificações de \(\zeta\), \(\omega_n\), \(M_p\), \(t_s\) — sem calcular as raízes para cada valor de \(K\).

Condições de Ângulo e de Módulo

Um ponto \(s_0\) pertence ao LGR se e somente se satisfaz a equação característica \(1+KG(s)H(s)=0\), ou seja, \(KG(s_0)H(s_0) = -1\). Escrevendo em forma polar:

• A condição de ângulo sozinha determina se \(s_0\) está no LGR (independente de \(K\))
• A condição de módulo só é usada depois, para achar o \(K\) correspondente a um ponto já identificado no LGR

Regras de Construção — Ramos e Simetria

Seja \(G(s)H(s) = \dfrac{\prod_{i=1}^{m}(s+z_i)}{\prod_{j=1}^{n}(s+p_j)}\), com \(n\) polos e \(m\) zeros de malha aberta (\(n\geq m\), tipicamente).

1. Número de ramos = \(n\) (número de polos de malha aberta) — cada ramo parte de um polo
2. Pontos de partida (\(K=0\)): os \(n\) polos de malha aberta
3. Pontos de chegada (\(K\to\infty\)): os \(m\) zeros finitos de malha aberta; os \(n-m\) ramos restantes vão para zeros no infinito
4. Simetria: o LGR é simétrico em relação ao eixo real (polos complexos sempre em pares conjugados)

Regras de Construção — Eixo Real

• Regra derivada diretamente da condição de ângulo: cada polo/zero real à direita contribui \(180°\); a soma precisa ser um múltiplo ímpar de \(180°\)
• Segmentos entre polos/zeros reais alternam pertencer ou não ao LGR, da direita para a esquerda

Regras de Construção — Assíntotas

Os \(n-m\) ramos que vão para o infinito o fazem ao longo de assíntotas retas, centradas em:

\[\sigma_a = \frac{\sum_j p_j - \sum_i z_i}{n-m} \qquad\text{(centroide, sobre o eixo real)}\]

com ângulos:

\[\theta_a = \frac{(2k+1)\times180°}{n-m}, \qquad k = 0,1,\ldots,n-m-1\]

Regras de Construção — Pontos de Saída/Chegada

Pontos de quebra (breakaway/break-in): onde dois ou mais ramos reais se encontram e se separam (saindo ou entrando no eixo real). Ocorrem em raízes reais de:

\[\frac{dK}{ds} = 0, \qquad \text{onde } K(s) = \frac{-1}{G(s)H(s)}\]

restritas às regiões do eixo real que pertencem ao LGR (regra anterior).

Ângulos de partida/chegada (polos/zeros complexos): calculados aplicando a condição de ângulo a um ponto de teste infinitesimalmente próximo ao polo (ou zero) complexo, somando as contribuições angulares de todos os demais polos e zeros.

Regras de Construção — Cruzamento do Eixo Imaginário

O(s) ponto(s) onde o LGR cruza o eixo \(j\omega\) (fronteira de estabilidade) e o ganho crítico \(K_{crít}\) correspondente são obtidos por Routh-Hurwitz (Aula 6): o valor de \(K\) que anula uma linha inteira do array de Routh é \(K_{crít}\); o polinômio auxiliar formado com a linha anterior dá a frequência de cruzamento \(\omega\).

Exemplo 1 — LGR de \(G(s)H(s) = \dfrac{K}{s(s+2)(s+4)}\)

LGR de \(K/[s(s+2)(s+4)]\)

• \(n=3\) polos (\(0,-2,-4\)), \(m=0\) zeros \(\implies\) 3 ramos, todos para o infinito
• Centroide: \(\sigma_a = \dfrac{0-2-4}{3} = -2\); ângulos das assíntotas: \(60°, 180°, 300°\)
• Eixo real no LGR: \([-2,0]\) e \((-\infty,-4]\)

Exemplo 1 — Ganho Crítico

Equação característica: \(s(s+2)(s+4)+K = s^3+6s^2+8s+K=0\).

Array de Routh (mesma estrutura da Aula 6):

\[ \begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & 8 \\ s^2 & 6 & K \\ s^1 & 8-\dfrac{K}{6} & 0 \\ s^0 & K & \end{array} \]

Estabilidade: \(0 < K < 48\). Em \(K=48\), a linha \(s^1\) se anula — o LGR cruza o eixo \(j\omega\) em \(\omega = \sqrt{8} \approx 2{,}83\) rad/s (raiz do polinômio auxiliar \(6s^2+K=0\)).

Exemplo 2 — Efeito de um Zero: \(G(s)H(s) = \dfrac{K(s+3)}{s(s+1)(s+5)}\)

LGR de \(K(s+3)/[s(s+1)(s+5)]\)

• \(n=3\) polos (\(0,-1,-5\)), \(m=1\) zero (\(-3\)) \(\implies\) 3 ramos: 1 termina no zero \(-3\), 2 vão ao infinito
• \(n-m=2\) assíntotas: ângulos \(90°\) e \(270°\), centroide \(\sigma_a = \dfrac{(0-1-5)-(-3)}{2}=-1{,}5\)
• O zero atrai o ramo complexo para a esquerda, tendendo a estabilizar e acelerar o sistema (compare com o Exemplo 1, sem zero)

Usando o LGR para Projeto

O LGR permite escolher \(K\) (ou projetar um controlador que reformula o LGR) para posicionar os polos de malha fechada em uma região desejada do plano \(s\):

1. Trace as retas de \(\zeta\) constante (ângulo \(\theta=\cos^{-1}\zeta\) a partir da origem) para atender a especificação de \(M_p\) (Aula 4)
2. Trace a reta vertical \(\text{Re}(s) = -\sigma_{\min}\) para atender a especificação de \(t_s\)
3. Identifique a interseção dessas retas com o LGR e leia (ou calcule pela condição de módulo) o \(K\) correspondente

Exemplo de Projeto por LGR

Problema: para \(G(s)H(s) = \dfrac{K}{s(s+2)(s+4)}\) (Exemplo 1), encontrar \(K\) tal que o par de polos dominantes tenha \(\zeta \approx 0{,}5\).

Procedimento:

1. Trace a reta \(\theta = \cos^{-1}(0{,}5) = 60°\) a partir da origem
2. Encontre a interseção dessa reta com o ramo complexo do LGR (numericamente ou por software)
3. Aplique a condição de módulo naquele ponto \(s_0\): \(K = |s_0|\,|s_0+2|\,|s_0+4|\)

Exercícios

1. Para \(G(s)H(s) = \dfrac{K}{(s+1)(s+3)}\), esboce o LGR: identifique polos, segmentos do eixo real, centroide e ângulos das assíntotas.
2. Para \(G(s)H(s) = \dfrac{K}{s(s+1)(s+2)(s+3)}\), determine o número de ramos, a posição do centroide e os ângulos das assíntotas.
3. Repita o Exemplo 1 (LGR de \(K/[s(s+2)(s+4)]\)) calculando manualmente o ponto de quebra no eixo real, no intervalo \([-2,0]\).
4. Para \(G(s)H(s)=\dfrac{K(s+3)}{s(s+1)(s+5)}\) (Exemplo 2), monte o array de Routh da equação característica e determine a faixa de \(K\) para estabilidade.
5. Explique por que adicionar um zero ao ramo complexo do LGR tende a “puxar” os polos dominantes para a esquerda, tornando o sistema mais estável e mais rápido.