Resposta em Frequência
Sistemas de Controle I — Controle Clássico
Universidade Federal do Pará
Resposta em Frequência — Conceito
Para um sistema LIT estável com função de transferência \(G(s)\), a resposta em regime permanente a uma entrada senoidal \(u(t)=A\sin(\omega t)\) é também senoidal, de mesma frequência, com amplitude e fase alteradas:
\[y_{ss}(t) = A\,|G(j\omega)|\,\sin\!\big(\omega t + \angle G(j\omega)\big)\]
Ideia central
A resposta em frequência \(G(j\omega)\) é obtida substituindo \(s=j\omega\) na função de transferência. Ela descreve completamente como o sistema amplifica/atenua e desloca em fase cada frequência \(\omega\).
- \(|G(j\omega)|\) — magnitude (ganho) em função de \(\omega\)
- \(\angle G(j\omega)\) — fase em função de \(\omega\)
Diagrama de Bode
O diagrama de Bode representa \(G(j\omega)\) em dois gráficos com eixo de frequência logarítmico:
- Magnitude: \(20\log_{10}|G(j\omega)|\) em decibéis (dB) vs. \(\log_{10}\omega\)
- Fase: \(\angle G(j\omega)\) em graus vs. \(\log_{10}\omega\)
Por que log-log/log-linear?
Fatores de \(G(j\omega)\) em produto (polos, zeros, ganho) tornam-se somas em dB e em fase — cada fator contribui uma assíntota simples que se soma graficamente às demais.
Assíntotas de Bode — Fatores Básicos
| Fator | Magnitude (assíntota) | Fase |
|---|---|---|
| Ganho \(K\) | \(20\log_{10}K\) (constante) | \(0°\) (ou \(180°\) se \(K<0\)) |
| Polo na origem \(1/(j\omega)\) | reta de \(-20\) dB/década | constante em \(-90°\) |
| Zero na origem \((j\omega)\) | reta de \(+20\) dB/década | constante em \(+90°\) |
| Polo real \(1/(1+j\omega/p)\) | \(0\) dB/década até \(\omega=p\); \(-20\) dB/década após | \(0°\to-90°\to-180°\) (centrado em \(\omega=p\)) |
| Zero real \((1+j\omega/z)\) | \(0\) dB/década até \(\omega=z\); \(+20\) dB/década após | \(0°\to+90°\to+180°\) (centrado em \(\omega=z\)) |
Note
A frequência \(\omega=p\) (ou \(z\)) é a frequência de canto (corner frequency) — no diagrama assintótico, o erro máximo em relação à curva real é de \(\approx3\) dB nesse ponto.
Construindo o Diagrama Assintótico
Procedimento:
- Escreva \(G(j\omega)\) como produto de fatores básicos (ganho, polos/zeros na origem, polos/zeros reais, pares complexos)
- Identifique as frequências de canto de cada fator (ordene-as)
- Comece a assíntota de magnitude com a inclinação do(s) fator(es) de baixa frequência (ganho + polos/zeros na origem)
- A cada frequência de canto, some a inclinação do fator correspondente (\(-20\) dB/década por polo, \(+20\) dB/década por zero)
- Para a fase, some as contribuições assintóticas (ou exatas) de cada fator
Exemplo — Diagrama de Bode
Diagrama de Bode de \(G(s)=10/[s(s+1)(s+5)]\), com margens de ganho e fase
- Polo na origem: \(-20\) dB/dec desde baixas frequências, fase partindo de \(-90°\)
- Frequências de canto em \(\omega=1\) e \(\omega=5\) rad/s (polos reais): inclinação cai para \(-40\) e depois \(-60\) dB/dec
Margens de Estabilidade
Para sistemas de fase mínima (sem polos/zeros no semiplano direito), a estabilidade da malha fechada pode ser avaliada diretamente no Bode de malha aberta \(G(j\omega)H(j\omega)\):
Margem de Ganho (MG)
\[\text{MG (dB)} = -20\log_{10}\big|G(j\omega_{gc})H(j\omega_{gc})\big|\] onde \(\omega_{gc}\) é a frequência de cruzamento de fase (\(\angle G H = -180°\)). Quanto o ganho pode aumentar antes de instabilizar.
Margem de Fase (MF)
\[\text{MF} = 180° + \angle G(j\omega_{pc})H(j\omega_{pc})\] onde \(\omega_{pc}\) é a frequência de cruzamento de ganho (\(|GH|=1=0\) dB). Quanto de atraso de fase adicional o sistema tolera antes de instabilizar.
Interpretando as Margens no Exemplo
No diagrama de Bode do slide anterior, \(G(s) = \dfrac{10}{s(s+1)(s+5)}\):
- \(\omega_{pc} \approx 1{,}23\) rad/s (onde \(|G|=0\) dB) \(\implies\) MF \(\approx 25°\)
- \(\omega_{gc} \approx 2{,}24\) rad/s (onde \(\angle G=-180°\)) \(\implies\) MG \(\approx 9{,}5\) dB
Regras práticas de projeto
Margens positivas \(\implies\) malha fechada estável. Valores usuais de projeto: MF entre \(30°\) e \(60°\), MG maior que \(6\) dB — margens pequenas (como MF \(\approx25°\) acima) indicam sistema estável mas com pouca robustez e resposta transitória oscilatória.
Relação entre Margem de Fase e Amortecimento
Para um sistema de malha aberta tipo dominante de 2ª ordem, existe a aproximação clássica:
\[\zeta \approx \frac{\text{MF}}{100}, \qquad \text{válida para } \text{MF} \lesssim 60°\]
| MF | \(\zeta\) aprox. | \(M_p\) aprox. |
|---|---|---|
| \(20°\) | \(0{,}2\) | \(53\%\) |
| \(40°\) | \(0{,}4\) | \(25\%\) |
| \(60°\) | \(0{,}6\) | \(9\%\) |
| \(70°\) | \(0{,}7\) | \(5\%\) |
Note
Essa relação permite traduzir uma especificação de sobressinal (domínio do tempo, Aula 4) em uma especificação de margem de fase (domínio da frequência) — ponte fundamental para o projeto de controladores por resposta em frequência.
Banda Passante e Velocidade de Resposta
A banda passante \(\omega_{BW}\) é a frequência em que \(|T(j\omega)|\) (malha fechada) cai \(3\) dB abaixo do valor em \(\omega=0\).
Relação aproximada (2ª ordem)
\[\omega_{BW} \approx \omega_n\sqrt{(1-2\zeta^2)+\sqrt{4\zeta^4-4\zeta^2+2}}\] Para \(\zeta\) típico (\(0{,}4\)–\(0{,}8\)): \(\omega_{BW} \approx (1\text{ a }1{,}5)\,\omega_n\).
- Quanto maior a banda passante, mais rápida a resposta transitória (menor \(t_r\), menor \(t_s\)) — mas também maior sensibilidade a ruído de medição em alta frequência
Critério de Nyquist (Visão Geral)
O critério de Bode (margens) pressupõe sistema de fase mínima. Para o caso geral (incluindo polos de malha aberta no semiplano direito), usa-se o critério de Nyquist:
Critério de Nyquist
\[Z = N + P\] onde \(P\) é o número de polos de malha aberta no SPD, \(N\) é o número de envolvimentos horários do ponto \(-1\) pelo diagrama de Nyquist de \(G(j\omega)H(j\omega)\), e \(Z\) é o número de polos de malha fechada no SPD. Estabilidade \(\iff Z=0\).
Tip
O diagrama de Nyquist é o gráfico de \(G(j\omega)H(j\omega)\) no plano complexo (parte real vs. imaginária), percorrendo \(\omega\) de \(-\infty\) a \(+\infty\). As margens de ganho e fase têm interpretação geométrica direta como distâncias ao ponto \(-1\).
Resumo: Domínio do Tempo vs. Frequência
| Domínio do Tempo | Domínio da Frequência |
|---|---|
| Polos dominantes (\(\zeta,\omega_n\)) | Margem de fase, banda passante |
| Sobressinal \(M_p\) | Margem de fase (aprox. \(\zeta\approx\text{MF}/100\)) |
| Tempo de acomodação \(t_s\) | Banda passante (inversamente relacionada) |
| Erro de regime permanente | Ganho em baixa frequência (\(K_p\), \(K_v\), \(K_a\)) |
| Routh-Hurwitz | Critério de Nyquist |
Exercícios
- Esboce o diagrama de Bode assintótico de \(G(s) = \dfrac{100}{(s+2)(s+20)}\): identifique as frequências de canto e as inclinações em cada faixa.
- Para \(G(s) = \dfrac{K}{s(s+4)}\), determine, em função de \(K\), a frequência de cruzamento de ganho \(\omega_{gc}\) e a margem de fase correspondente.
- Um sistema tem margem de fase medida de \(45°\). Estime \(\zeta\) e o sobressinal \(M_p\) esperado em malha fechada.
- Explique, com base no critério de Nyquist, por que um sistema de fase mínima estável em malha aberta pode se tornar instável em malha fechada ao aumentar o ganho \(K\).
- Compare as margens de ganho e fase do Exemplo desta aula (\(G(s)=10/[s(s+1)(s+5)]\)) com as do Exemplo 1 do LGR (Aula 7, mesma planta com \(K=48\) no limite de estabilidade) — o que ocorre com a margem de fase quando \(K\to K_{crít}\)?