Controlador PID
Sistemas de Controle I — Controle Clássico
Universidade Federal do Pará
O Controlador PID
O controlador Proporcional-Integral-Derivativo (PID) é, de longe, o mais usado na indústria — estima-se que mais de 90% das malhas de controle industriais usem alguma variante de PID.
\[u(t) = K_p\,e(t) + K_i\int_0^t e(\tau)\,d\tau + K_d\,\frac{de(t)}{dt}\]
\[C(s) = \frac{U(s)}{E(s)} = K_p + \frac{K_i}{s} + K_d s = K_d\,\frac{s^2 + \frac{K_p}{K_d}s + \frac{K_i}{K_d}}{s}\]
Tip
O PID adiciona dois zeros e um polo na origem à malha aberta — o polo na origem aumenta o tipo do sistema (elimina erro de regime permanente ao degrau, Aula 6); os zeros dão liberdade para formar o LGR (Aula 7) e ajustar as margens de fase (Aula 8).
Estrutura em Diagrama de Blocos
Ação Proporcional (P)
\[C(s) = K_p \qquad\qquad u(t) = K_p\,e(t)\]
- Ação instantânea, proporcional ao erro atual
- Aumentar \(K_p\): reduz o erro de regime permanente (Aula 6, \(K_p^{\text{erro}}\propto K_p\)), acelera a resposta, mas aumenta o sobressinal e pode levar à instabilidade
- Não elimina erro de regime permanente em sistemas tipo 0 (apenas reduz)
Warning
Ganho proporcional muito alto pode levar o sistema à instabilidade — veja o LGR (Aula 7): aumentar \(K_p\) move os polos ao longo do lugar geométrico, podendo cruzar para o semiplano direito.
Ação Integral (I)
\[C(s) = \frac{K_i}{s} \qquad\qquad u(t) = K_i\int_0^t e(\tau)\,d\tau\]
- Acumula o erro ao longo do tempo — mesmo um erro pequeno e persistente gera ação de controle crescente
- Adiciona um polo na origem: aumenta o tipo do sistema em 1 \(\implies\) elimina o erro de regime permanente ao degrau (sistemas tipo 0 → tipo 1)
- Custo: adiciona \(-90°\) de fase, reduzindo a margem de fase (Aula 8) e tornando a resposta mais lenta/oscilatória se \(K_i\) for muito grande
Windup integral
Se o atuador saturar (limite físico de \(u(t)\)), o termo integral pode continuar acumulando erro indefinidamente, causando grande sobressinal ao sair da saturação. Controladores reais implementam anti-windup (ex.: parar a integração quando saturado).
Ação Derivativa (D)
\[C(s) = K_d\,s \qquad\qquad u(t) = K_d\,\frac{de(t)}{dt}\]
- Reage à taxa de variação do erro — antecipa a tendência, “freando” a resposta antes de atingir o valor final
- Adiciona um zero: tende a reduzir o sobressinal e melhorar a margem de fase (fase adicional de \(+90°\)), permitindo aumentar \(K_p\) com mais segurança
- Nunca usado sozinho (ação D pura não atua sobre erro constante) — sempre combinado com P ou PI
Chute derivativo e ruído
A derivada amplifica ruído de alta frequência — na prática, usa-se um filtro passa-baixas na ação derivativa, e a derivada é aplicada sobre a saída medida \(y(t)\) (não sobre o erro) para evitar o “derivative kick” causado por mudanças bruscas na referência.
Efeito Individual dos Ganhos
Efeito da variação isolada de \(K_p\), \(K_i\) e \(K_d\) na resposta ao degrau
Tabela-Resumo: Efeito Qualitativo dos Ganhos
| Aumentar | Tempo de subida | Sobressinal | Tempo de acomodação | Erro regime perm. (degrau) |
|---|---|---|---|---|
| \(K_p\) | ↓ diminui | ↑ aumenta | pouco efeito | ↓ diminui (não elimina) |
| \(K_i\) | ↓ diminui | ↑ aumenta | ↑ aumenta | elimina |
| \(K_d\) | pouco efeito | ↓ diminui | ↓ diminui | pouco efeito |
Warning
Esta tabela (clássica em Ogata/Nise) descreve tendências isoladas — os três ganhos interagem, e o ajuste fino deve sempre ser validado por simulação ou teste no processo real.
Comparação P, PI, PID em Malha Fechada
Resposta ao degrau: P, PI e PID controlando a mesma planta
Planta \(G(s)=\dfrac{1}{s(s+1)(s+2)}\) (tipo 1): note que P e PID eliminam o erro (a planta já é tipo 1); a ação integral do PI eleva o tipo para 2, e a ação derivativa do PID amortece o sobressinal introduzido pelo integrador.
Sintonia de Ziegler-Nichols — Método da Malha Fechada
Método experimental clássico (Ziegler and Nichols 1942), aplicável quando não se dispõe de um modelo preciso da planta:
- Com controlador apenas proporcional (\(K_i=K_d=0\)), aumente \(K_p\) até que a saída apresente oscilação sustentada (amplitude constante) — esse é o ganho crítico \(K_{cr}\) (relaciona-se ao \(K_{crít}\) do cruzamento do LGR com o eixo \(j\omega\), Aula 7)
- Meça o período crítico \(T_{cr}\) da oscilação sustentada
| Controlador | \(K_p\) | \(T_i\) | \(T_d\) |
|---|---|---|---|
| P | \(0{,}5\,K_{cr}\) | — | — |
| PI | \(0{,}45\,K_{cr}\) | \(T_{cr}/1{,}2\) | — |
| PID | \(0{,}6\,K_{cr}\) | \(T_{cr}/2\) | \(T_{cr}/8\) |
com \(K_i = K_p/T_i\) e \(K_d = K_p T_d\).
Sintonia de Ziegler-Nichols — Método da Curva de Reação
Alternativa sem levar o sistema à instabilidade — aplica-se um degrau em malha aberta e mede-se a curva de reação da planta (assumida aproximável por um modelo de 1ª ordem com atraso, FOPDT):
\[G(s) \approx \frac{K}{\tau s + 1}\,e^{-Ls}\]
obtendo-se o ganho \(K\), a constante de tempo \(\tau\) e o atraso \(L\) diretamente da curva:
| Controlador | \(K_p\) | \(T_i\) | \(T_d\) |
|---|---|---|---|
| P | \(\tau/L\) | — | — |
| PI | \(0{,}9\,\tau/L\) | \(L/0{,}3\) | — |
| PID | \(1{,}2\,\tau/L\) | \(2L\) | \(0{,}5L\) |
Tip
As regras de Ziegler-Nichols fornecem um ponto de partida razoável, não um projeto ótimo — costuma-se refinar manualmente após a sintonia inicial (reduzir \(K_p\) se houver sobressinal excessivo, etc.).
Estruturas Derivadas: PI e PD
PI — quando a resposta rápida da ação D não é necessária, ou o ruído de medição é elevado:
\[C(s) = K_p\left(1+\frac{1}{T_i s}\right)\]
- Elimina erro de regime permanente
- Adequado para plantas já razoavelmente amortecidas
PD — quando não há erro de regime permanente a eliminar (ou ele é tolerável), priorizando resposta rápida com baixo sobressinal:
\[C(s) = K_p(1+T_d s)\]
- Melhora a margem de fase e a resposta transitória
- Não afeta o tipo do sistema
Boas Práticas de Implementação
- Anti-windup: limitar ou “congelar” a integração quando o atuador satura
- Derivada filtrada: aplicar a ação D sobre \(y(t)\) filtrado (passa-baixas) para atenuar ruído
- Derivada sobre a saída, não sobre o erro: evita o “derivative kick” em mudanças bruscas de referência
- Discretização: implementações reais são digitais — a integral vira um somatório e a derivada uma diferença finita (tema de Sistemas de Controle II)
Exercícios
- Para uma planta \(G(s)=\dfrac{1}{(s+1)(s+3)}\) controlada com PI, mostre que o tipo do sistema em malha aberta passa de 0 para 1 e que, portanto, o erro ao degrau é eliminado em malha fechada.
- Um teste de malha fechada com controlador P puro apresentou oscilação sustentada para \(K_p=K_{cr}=10\), com período \(T_{cr}=2\) s. Calcule os parâmetros de um controlador PID pelo método de Ziegler-Nichols (malha fechada).
- Explique por que a ação derivativa pura (\(C(s)=K_ds\)) nunca é usada isoladamente em um controlador.
- Descreva o fenômeno de windup integral e proponha (em palavras) uma estratégia de anti-windup para um atuador com saturação em \(\pm10\) V.
- Compare, para a planta \(G(s)=1/[s(s+1)(s+2)]\) (Aula 9, exemplo de comparação), o motivo pelo qual o controlador PI apresenta mais oscilação do que o P puro, relacionando com a fase adicional introduzida pelo integrador (Aula 8).