Estratégia adaptativa de modelo ARX preditivo por RST
Universidade Federal do Pará
Tensões (correntes, fluxos) trifásicas em espaço vetorial:
\[v_{abc} = \frac{2}{3}\begin{bmatrix} v_a, av_b, a^2v_c \end{bmatrix}\]
onde \(a = e^{j2\pi/3}\) é o operador de fase e \(i = \sqrt{-1}\).
Por Euler, temos que:
\[a = \cos(120^\circ) + j\sin(120^\circ)\] \[a^2 = \cos(240^\circ) + j\sin(240^\circ)\]
Projetando o vetor \(v_{abc}\) no referencial estacionário com eitos \(\alpha\) (real) e \(\beta\) (imaginário), têm-se:
\[v_{\alpha\beta} = [T_{abc}]v_{abc}\]
Com a matriz de transformação \(T_{abc}\) de Clarke:
\[v_{\alpha\beta} = \frac{2}{3}\begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_a \\ v_b \\ v_c \end{bmatrix}\]
Invertendo a transformação:
\[v_{abc} = [T_{abc}]^{-1}v_{\alpha\beta}\]
Com a matriz inversa:
\[v_{abc} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_\alpha \\ v_\beta \end{bmatrix}\]
O referencial síncrono \(dq\) gira com frequência \(\omega\) e é localizado em \(\theta = \omega t\) do referencial estacionário \(\alpha\beta\).
Projetando o vetor \(v_{\alpha\beta}\) no referencial girante com eitos \(d\) (direto) e \(q\) (quadratura), têm-se:
\[\begin{bmatrix} v_d \\ v_q \end{bmatrix} = [T_{dq}]v_{\alpha\beta}\] Com a matriz de transformação \(T_{dq}\) de Park: \[\begin{bmatrix} v_d \\ v_q \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \;\;\cos(\theta) & \sin(\theta) \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_\alpha \\ v_\beta \end{bmatrix}\]
Invertendo a transformação: \[v_{\alpha\beta} = [T_{dq}]^{-1}\begin{bmatrix} v_d \\ v_q \end{bmatrix}\] Com a matriz inversa: \[v_{\alpha\beta} = \begin{bmatrix} \;\;\cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \;\;\cos(\theta) \end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_d \\ v_q \end{bmatrix}\]
Pode-se também transformar diretamente de \(abc\) para \(dq\):
\[\begin{bmatrix} v_d \\ v_q \end{bmatrix} = [T_{dq}][T_{abc}]v_{abc}\]
Ou de \(dq\) para \(abc\):
\[v_{abc} = [T_{abc}]^{-1}[T_{dq}]^{-1}\begin{bmatrix} v_d \\ v_q \end{bmatrix}\]
Em notação compacta, as transformações podem ser escritas como:
\[v_{dq} = v_d + jv_q = v_{\alpha\beta}e^{-j\theta}\]