Sistemas de Controle II
Universidade Federal do Pará
Considere o circuito RLC série alimentado por uma fonte de tensão \(v(t)\), onde a saída de interesse é a tensão no capacitor \(v_c(t)\).
Componentes: * \(R\): Resistência (\(\Omega\)) * \(L\): Indutância (\(H\)) * \(C\): Capacitância (\(F\)) * \(i(t)\): Corrente série;
Aplicando a Lei das Tensões de Kirchhoff (LTK) na malha: \[v(t) = v_R(t) + v_L(t) + v_C(t)\]
Substituindo pelas relações constitutivas: \[v(t) = R \cdot i(t) + L \frac{di(t)}{dt} + v_C(t)\] Para o capacitor, a relação entre corrente e tensão é: \[i(t) = C \frac{dv_C(t)}{dt} \implies \frac{dv_C(t)}{dt} = \frac{1}{C} i(t)\]
Definimos as variáveis de estado como: \[x_1(t) = v_C(t)\] \[x_2(t) = i(t)\] Substituindo essas definições nas equações anteriores, obtemos o sistema de equações diferenciais: \[\dot{x}_1(t) = \frac{1}{C} x_2(t)\] \[\dot{x}_2(t) = \frac{1}{L} (v(t) - R x_2(t) - x_1(t))\] Essas equações podem ser escritas na forma matricial: \[\begin{bmatrix} \dot{x}_1(t) \\ \dot{x}_2(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & \frac{1}{C} \\ -\frac{1}{L} & -\frac{R}{L} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ \frac{1}{L} \end{bmatrix} v(t)\] A saída do sistema é dada por: \[y(t) = x_1(t)\]
A representação em espaço de estados do sistema é dada por: \[\dot{\mathbf{x}}(t) = A \mathbf{x}(t) + B u(t)\] \[y(t) = C \mathbf{x}(t) + D u(t)\] Onde: - \(\mathbf{x}(t) = \begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \end{bmatrix}\) é o vetor de estado - \(u(t) = v(t)\) é a entrada do sistema - \(y(t) = x_1(t)\) é a saída do sistema - \(A = \begin{bmatrix} 0 & \frac{1}{C} \\ -\frac{1}{L} & -\frac{R}{L} \end{bmatrix}\) é a matriz de estado - \(B = \begin{bmatrix} 0 \\ \frac{1}{L} \end{bmatrix}\) é a matriz de entrada - \(C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\) é a matriz de saída - \(D = 0\) é a matriz de transmissão direta;
A representação em espaço de estados é uma ferramenta poderosa para modelar e analisar sistemas dinâmicos