Modelagem no Espaço de Estados

Modelos de sistemas dinâmicos

Sistemas dinâmicos são comumente representados a partir de equações diferenciais:

\[\frac{d^n y}{dt^n} + a_{n-1} \frac{d^{n-1} y}{dt^{n-1}} + \ldots + a_1 \frac{dy}{dt} + a_0 y = b_0 u\]

Ou por funções de transferência:

\[G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{b_0}{s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \ldots + a_1 s + a_0}\]

Estas representações são adequadas para análise de sistemas lineares e invariantes no tempo (LIT), mas não são as mais adequadas para modelar sistemas com múltiplas entradas e saídas, ou sistemas não lineares.

Sistema massa mola amortecedor

Sistema massa mola amortecedor

Modelagem pelas Leis de Newton, considerando as forças atuantes na massa.

\[m\ddot{y} = u(t) - f_m(t) - f_a(t)\]

Onde:

• \(m\) é a massa;
• \(u(t)\) é a força de entrada;
• \(f_m(t) = k y(t)\) é a força da mola;
• \(f_a(t) = b \dot{y}(t)\) é a força de amortecimento;

Rearranjando a equação:

\[m\ddot{y} + b\dot{y} + ky(t) = u(t)\]

Sistema massa mola amortecedor

Definindo as variáveis de estado: \[x_1 = y(t) \qquad \longrightarrow \qquad \dot{x}_1 = x_2(t)\] \[x_2 = \dot{y}(t) \qquad \longrightarrow \qquad \dot{x}_2 = \ddot{y}(t)\]

Expressando na forma matricial: \[\begin{bmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -\frac{k}{m} & -\frac{b}{m} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ \frac{1}{m} \end{bmatrix} u\] \[y = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}\]

Modelagem no espaço de estados

Uma equação diferencial de ordem \(n\) pode ser representada na forma de espaço de estados, por \(n\) equações diferenciais de primeira ordem.

\[\begin{equation} \frac{d^n y}{dt^n} + a_{n-1} \frac{d^{n-1} y}{dt^{n-1}} + \ldots + a_1 \frac{dy}{dt} + a_0 y = b_0 u \end{equation}\]

\[ \begin{equation} \begin{cases} \dot{x}_1(t) = x_2(t) \\ \dot{x}_2(t) = x_3(t) \\ \vdots \\ \dot{x}_{n-1}(t) = x_n(t) \\ \dot{x}_n(t) = -a_{n-1} x_n(t) - a_{n-2} x_{n-1}(t) - \ldots - a_1 x_2(t) - a_0 x_1(t) + b_0 u(t) \end{cases} \end{equation} \]

Modelagem no espaço de estados - Forma matricial

\[\begin{equation} \begin{bmatrix} \dot{x}_1(t) \\ \dot{x}_2(t) \\ \vdots \\ \dot{x}_{n-1}(t) \\ \dot{x}_n(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 \\ -a_0 & -a_1 & -a_2 & \ldots & -a_{n-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \\ \vdots \\ x_{n-1}(t) \\ x_n(t) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ b_0 \end{bmatrix} u(t) \end{equation} \]

\[\begin{equation} y(t) = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & \ldots & 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \\ \vdots \\ x_{n-1}(t) \\ x_n(t) \end{bmatrix} \end{equation} \]

Equação de Estado - Sistema LIT de ordem \(n\)

\[\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{A}\mathbf{x} + \mathbf{B}u\] \[\mathbf{y} = \mathbf{C}\mathbf{x} + \mathbf{D}u\]

Onde:

• \(m\) entradas; \(p\) saídas;
• \(\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n\) é o vetor de estado;
• \(u \in \mathbb{R}\) é a entrada do sistema;
• \(\mathbf{y} \in \mathbb{R}^p\) é a saída do sistema;
• \(\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n \times n}\) é a matriz de estado;
• \(\mathbf{B} \in \mathbb{R}^{n \times m}\) é a matriz de entrada;
• \(\mathbf{C} \in \mathbb{R}^{p \times n}\) é a matriz de saída;
• \(\mathbf{D} \in \mathbb{R}^{p \times m}\) é a matriz de transmissão direta.

Diagrama de blocos - Modelo de estados

Circuito RLC

Modelagem - Circuito RLC

Modelagem - Circuito RLC

Definindo as variáveis de estado: \[x_1 = v_C(t) \qquad \longrightarrow \qquad \dot{x}_1 = \frac{1}{C} (u(t) - i_L(t))\] \[x_2 = i_L(t) \qquad \longrightarrow \qquad \dot{x}_2 = \frac{1}{L} (x_1(t) - R x_2(t))\]

Expressando na forma matricial: \[\begin{bmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -\frac{1}{C} \\ \frac{1}{L} & -\frac{R}{L} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \frac{1}{C} \\ 0 \end{bmatrix} u\] \[y = \begin{bmatrix} 0 & R \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}\]

Modelagem do motor de corrente contínua

Modelagem do motor de corrente contínua

Modelagem do motor de corrente contínua

Equação da armadura: \[V_a(t) = L \frac{di_a(t)}{dt} + R i_a(t) + e_b(t)\]

Equação do movimento: \[J \frac{d\omega(t)}{dt} = T(t) - b \omega(t)\]

Força contra-eletromotriz e torque: \[e_b(t) = K_e \omega(t) \qquad\qquad T(t) = K_t i_a(t)\]

Determine as equações de estado do motor CC.

Modelagem do motor de corrente contínua

Aplicando FCC e torque nas equações da armadura e do movimento: \[V_a(t) = L \frac{di_a(t)}{dt} + R i_a(t) + K_e \omega(t)\] \[J \frac{d\omega(t)}{dt} = K_t i_a(t) - b \omega(t)\]

Definindo as variáveis de estado: \[x_1 = i_a(t) \qquad x_2 = \omega(t)\]

Substituindo nas equações e isolando as derivadas: \[\dot{x}_1 = \frac{1}{L} (V_a(t) - R x_1(t) - K_e x_2(t)) \qquad \qquad \dot{x}_2 = \frac{1}{J} (K_t x_1(t) - b x_2(t))\]

Modelagem do motor de corrente contínua

Expressando na forma matricial:

\[\begin{bmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{R}{L} & -\frac{K_e}{L} \\ \frac{K_t}{J} & -\frac{b}{J} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \frac{1}{L} \\ 0 \end{bmatrix} u(t)\] \[y = \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}\]

Conversão da equação de estados para a função de transferência

Seja a equação de estados: \[\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{A}\mathbf{x} + \mathbf{B}u\] \[\mathbf{y} = \mathbf{C}\mathbf{x} + \mathbf{D}u\]

Aplicando transformada de Laplace: \[s\mathbf{X}(s) - \mathbf{x}(0) = \mathbf{A}\mathbf{X}(s) + \mathbf{B}U(s)\] \[\mathbf{Y}(s) = \mathbf{C}\mathbf{X}(s) + \mathbf{D}U(s)\]

Rearranjando a primeira equação: \[\mathbf{X}(s) = (s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1} \mathbf{x}(0) + (s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1} \mathbf{B} U(s)\]

Considerara que as condições iniciais são nulas \(\mathbf{x}(0) = 0\).

Conversão da equação de estados para a função de transferência

\[\mathbf{X}(s) = (s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1} \mathbf{B} U(s)\]

Substituindo na equação de saída: \[\mathbf{Y}(s) = \mathbf{C} (s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1} \mathbf{B} U(s) + \mathbf{D} U(s)\]

A função de transferência é dada por: \[G(s) = \frac{\mathbf{Y}(s)}{U(s)} = \mathbf{C} (s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1} \mathbf{B} + \mathbf{D}\]