Sistemas de Controle II
Universidade Federal do Pará
Os modelos de sistemas LIT podem ser convertidos entre as seguintes representações:
Seja um sistema representado por um modelo de espaço de estados:
\[\dot{x}(t) = A x(t) + B u(t)\] \[y(t) = C x(t) + D u(t)\]
Aplicando transformada de Laplace: \[sX(s) - x(0) = A X(s) + B U(s)\] \[Y(s) = C X(s) + D U(s)\]
Rearranjando: \[X(s) = (sI - A)^{-1} x(0) + (sI - A)^{-1} B U(s)\] \[Y(s) = C (sI - A)^{-1} x(0) + C (sI - A)^{-1} B U(s) + D U(s)\]
A função de transferência (\(x(0) = 0\)) é dada por: \[G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = C (sI - A)^{-1} B + D\]
\[(G(s) = \frac{C \text{adj}(sI - A) B}{\text{det}(sI - A)} + D\]
A inversa de \(sI - A\) é dada por: \[(sI - A)^{-1} = \frac{\text{adj}(sI - A)}{\text{det}(sI - A)}\]
Para n = 2, a matriz adjunta é dada por:
\[ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \qquad \longrightarrow \qquad \text{adj}(A) = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\]
No caso de \(sI - A\), temos: \[sI - A = \begin{bmatrix} s - a & -b \\ -c & s -d \end{bmatrix} \qquad \longrightarrow \qquad \text{adj}(sI - A) = \begin{bmatrix} s - d & b \\ c & s - a \end{bmatrix}\]
Considere o sistema representado por:
\[\dot{x} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix} x + \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} u\] \[y = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} x\]
Calculando a função de transferência:
\[G(s) = C (sI - A)^{-1} B + D\]
Determinando a matriz adjunta e o determinante de \(sI - A\): \[sI - A = \begin{bmatrix} s & -1 \\ 2 & s + 3 \end{bmatrix}\] \[\text{adj}(sI - A) = \begin{bmatrix} s + 3 & 1 \\ -2 & s \end{bmatrix}\] \[\text{det}(sI - A) = s^2 + 3s + 2\]
Assim, a função de transferência é dada por: \[G(s) = \frac{\begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s + 3 & 1 \\ -2 & s \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}}{s^2 + 3s + 2} = \frac{1}{s^2 + 3s + 2}\]
Os autovalores de \(A\) são as raízes do polinômio característico \(\text{det}(sI - A) = 0\), os polos de \(G(s)\).
Pelo exemplo, para determinar os autovalores de \(A\) e os polos de \(G(s)\), basta resolver a equação: \[\text{det}(sI - A) = 0\]
Para o exemploe \[s^2 + 3s + 2 = 0\]:
As raízes são \(s = -1\) e \(s = -2\), que são os autovalores de \(A\) e os polos de \(G(s)\).
Seja o sistema massa-mola-amortecedor representado no espaço de estados por \[\dot{x} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -\frac{k}{m} & -\frac{b}{m} \end{bmatrix} x + \begin{bmatrix} 0 \\ \frac{1}{m} \end{bmatrix} u\] \[y = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} x\]
Busca-se determinar a função de transferência do sistema.
\[G(s) = C (sI - A)^{-1} B + D\]
Calculando a matriz adjunta e o determinante de \(sI - A\): \[sI - A = \begin{bmatrix} s & -1 \\ \frac{k}{m} & s + \frac{b}{m} \end{bmatrix}\]
\[\text{adj}(sI - A) = \begin{bmatrix} s + \frac{b}{m} & 1 \\ -\frac{k}{m} & s \end{bmatrix}\] \[\text{det}(sI - A) = s^2 + \frac{b}{m} s + \frac{k}{m}\]
Assim, a função de transferência é dada por: \[G(s) = \frac{\begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s + \frac{b}{m} & 1 \\ -\frac{k}{m} & s \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ \frac{1}{m} \end{bmatrix}}{s^2 + \frac{b}{m} s + \frac{k}{m}} = \frac{\frac{1}{m}}{s^2 + \frac{b}{m} s + \frac{k}{m}}\]
Seja um sistema representado por uma função de transferência: \[G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{b_0 s^m + b_1 s^{m-1} + \ldots + b_{m-1} s + b_m}{s^n + a_1 s^{n-1} + \ldots + a_{n-1} s + a_n}\]
A conversão de função de transferência para espaço de estados pode ser feita utilizando as formas canônicas, como a forma controlável ou a forma observável.
Fazendo a conversão para a forma controlável, temos: \[\dot{x} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -a_n & -a_{n-1} & \ldots & -a_1 \end{bmatrix} x + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ b_0 \end{bmatrix} u\] \[y = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \ldots & 0 \end{bmatrix} x\]
Seja o sistema representado pela EDO de ordem \(n\) na forma:
\[y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \ldots + a_1 y' + a_n y(t) = b_0u(t)\]
Representado pela função de transferência:
\[G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{b_m}{s^n + a_1 s^{n-1} + \ldots + a_{n-1} s + a_n}\]
Uma escolha para as variáveis de estado é: \[x_1 = y(t)\qquad\quad x_2 = y'(t)\qquad\quad \ldots \qquad\quad x_n = y^{(n-1)}(t)\]
As variáveis de estado são a saída e suas derivadas. Expressando as derivadas das variáveis de estado em função das variáveis de estado e da entrada:
\[\dot{x}_1 = x_2 \qquad\quad \dot{x}_2 = x_3 \qquad\quad \ldots \qquad\quad \dot{x}_{n-1} = x_n\] \[\dot{x}_n = -a_n x_1 - a_{n-1} x_2 - \ldots - a_1 x_n + b_0 u\]
O que pode ser escrito na forma matricial como: \[\dot{x} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -a_n & -a_{n-1} & \ldots & -a_1 \end{bmatrix} x + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ b_0 \end{bmatrix} u\] \[y(t) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \ldots & 0 \end{bmatrix} x\]
Determine a representação de estados do sistema.
\[G(s) = \frac{Y(s)}{R(s)} = \frac{24}{s^3 + 9s^2 + 26s + 24}\]
Convertendo para EDO:
\[y''' + 9y'' + 26y' + 24y = 24u\]
Definindo as variáveis de estado: \[x_1 = y(t) \qquad\quad x_2 = y'(t) \qquad\quad x_3 = y''(t)\] Expressando as derivadas das variáveis de estado em função das variáveis de estado e da entrada: \[\dot{x}_1 = x_2 \qquad\quad \dot{x}_2 = x_3 \qquad\quad \dot{x}_3 = -24x_1 - 26x_2 - 9x_3 + 24u\]