Sistemas de Controle II
Universidade Federal do Pará
A representação em espaço de estados de um sistema é dada por: \[\dot{x}(t) = A x(t) + B u(t)\] \[y(t) = C x(t) + D u(t)\]
Esta representação é muito flexível e pode ser convertida para outras formas, como a função de transferência. No entanto, existem formas canônicas específicas que facilitam a análise e o projeto de sistemas de controle.
Convertendo a função de transferência para Espaço de estados:
Caso 1 - Sistemas com numerador constante: \[G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{b_0}{s^n + a_{n-1} s^{n-1} + ... + a_0}\]
\[G(s) = \frac{12}{s^3 + 9s^2 + 26s + 24}\]
EDO associada: \[y''' + 9y'' + 26y' + 24y = 12u\]
Definindo as variáveis de estado: \[x_1 = y\] \[x_2 = y'\] \[x_3 = y''\]
Derivando as variáveis de estado: \[\dot{x}_1 = x_2\] \[\dot{x}_2 = x_3\] \[\dot{x}_3 = 12u - 9x_3 - 26x_2 - 24x_1\]
A representação em espaço de estados é dada por: \[\begin{bmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \\ \dot{x}_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -24 & -26 & -9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 12 \end{bmatrix} u\] \[y = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}\]
Caso 2 - Sistemas com numerador polinomial: Lathi 3.5
\[G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{b_2 s^2 + b_1 s + b_0}{a_3s^3 + a_2 s^2 + a_1 s + a_0}\]
Nise 5.7
Forma em cascata;