Controle por Alocação de Polos

Espaço de Estados e Polos de Malha Aberta

Consideramos sistemas LIT representados em espaço de estados:

\[\begin{cases} \dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t) \\ y(t) = Cx(t) \end{cases}\]

Os polos de malha aberta são os autovalores de \(A\):

\[\det(sI - A) = 0\]

Sistema de Exemplo: Polos de Malha Aberta

\[A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & -5 & -6 \end{bmatrix} \implies \det(sI - A) = s^3 + 6s^2 + 5s + 1 = 0\]

Polos de malha aberta: \(p_1 \approx -0{,}308 \qquad p_2 \approx -0{,}643 \qquad p_3 \approx -5{,}049\).

Motivação: Por que alocar polos?

A posição dos polos determina o comportamento dinâmico do sistema:

\[G(s) = \frac{K\omega_n}{s^2 + 2\xi\omega_n s + \omega_n^2} \quad\implies\quad \text{polos} = -\xi\omega_n \pm j\omega_n\sqrt{1-\xi^2}\]

Diagrama de Blocos: Malha Aberta

\[\begin{cases} \dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t) \\ y(t) = Cx(t) \end{cases}\]

Lei de Controle por Realimentação de Estados

Sinal de controle como combinação linear dos estados:

\[u(t) = -Kx(t) + r(t)\]

onde \(K = \begin{bmatrix} k_1 & k_2 & \cdots & k_n \end{bmatrix}\) é o vetor de ganhos e \(r(t)\) a referência. Substituindo:

\[\dot{x}(t) = Ax(t) + B\bigl(-Kx(t) + r(t)\bigr)\]

Sistema em malha fechada:

\[\begin{cases} \dot{x}(t) = (A - BK)x(t) + Br(t) \\ y(t) = Cx(t) \end{cases}\]

Sistema Controlado — Diagrama de Blocos

Efeito da Realimentação sobre os Polos

Matriz de malha fechada: \(A_{cl} = A - BK\).

Polos de malha fechada — autovalores de \(A_{cl}\):

\[\det\bigl(sI - (A - BK)\bigr) = 0\]

Sistema controlável e Controlabilidade

Não necessariamente. Depende da capacidade de \(u\) em influenciar os estados.

• Estado \(x_i\) não influenciado por \(u\) — direta ou indiretamente — não é controlável.
• Polos associados a estados não controláveis não podem ser movidos.

Condição de Controlabilidade

O sistema \(\dot{x} = Ax + Bu\) é completamente controlável se e somente se:

\[\text{posto}(\mathcal{C}) = n, \quad \mathcal{C} = \begin{bmatrix} B & AB & A^2B & \cdots & A^{n-1}B \end{bmatrix}\]

onde \(n\) é a ordem do sistema.

\[\text{rank}(\mathcal{C}) = \text{posto}(\mathcal{C}) = n, \det(\mathcal{C}) \neq 0. \text{ Ou seja:} \mathcal{C} \text{é invertível!}\]

Controlabilidade: Exemplo

Sistema não controlável — considere:

\[A = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\]

A matriz de controlabilidade:

\[\mathcal{C} = \begin{bmatrix} B & AB \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\]

\[\det(\mathcal{C}) = 0 \implies \text{posto}(\mathcal{C}) = 1 < n = 2\]

Polinômio Característico Desejado

Polos desejados \(p_1, p_2, \ldots, p_n\) definem o polinômio característico desejado:

\[\alpha(s) = (s - p_1)(s - p_2)\cdots(s - p_n) = s^n + \alpha_{n-1}s^{n-1} + \cdots + \alpha_1 s + \alpha_0\]

Objetivo: encontrar \(K\) tal que:

\[\det\bigl(sI - (A - BK)\bigr) = \alpha(s)\]

Fórmula de Ackermann

Igualando coeficientes de \(\det\bigl(sI - (A - BK)\bigr) = \alpha(s)\), obtêm-se \(n\) equações nas \(n\) incógnitas \(k_1, \ldots, k_n\).

Para sistemas controláveis, a solução é dada pela fórmula de Ackermann:

\[\boxed{K = \begin{bmatrix} 0 & \cdots & 0 & 1 \end{bmatrix} \mathcal{C}^{-1} \,\alpha(A)}\]

onde \(\alpha(A)\) é o polinômio desejado avaliado na matriz \(A\):

\[\alpha(A) = A^n + \alpha_{n-1}A^{n-1} + \cdots + \alpha_1 A + \alpha_0 I\]

Exemplo Numérico

Determinar \(K\) para o sistema que atenda aos polos desejados:

\[A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & -5 & -6 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\] Polos desejados: \(\boxed{p_1 = -2 + j4, \quad p_2 = -2 - j4, \quad p_3 = -10}\)

Passo 1 — Verificar Controlabilidade

Calculamos a matriz de controlabilidade \(\mathcal{C} = \begin{bmatrix} B & AB & A^2B \end{bmatrix}\):

\[AB = \begin{bmatrix}0\\1\\-6\end{bmatrix}, \quad A^2B = \begin{bmatrix}1\\-6\\31\end{bmatrix}\]

\[\mathcal{C} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -6 \\ 1 & -6 & 31 \end{bmatrix}\]

\[\det(\mathcal{C}) = 1 \neq 0 \implies \text{posto}(\mathcal{C}) = 3 = n \checkmark\]

Passo 2 — Polinômio Característico Desejado

A partir dos polos desejados:

\[\phi(s) = (s - p_1)(s - p_2)(s - p_3) = (s+2-j4)(s+2+j4)(s+10)\]

Agrupando o par complexo conjugado:

\[\phi(s) = (s^2 + 4s + 20)(s + 10)\]

Expandindo:

\[\boxed{\phi(s) = s^3 + 14s^2 + 60s + 200}\]

O polinômio característico desejado!

Passo 3 — Avaliar \(\phi(A)\)

\[\phi(A) = A^3 + 14A^2 + 60A + 200I\]

Calculando as potências de \(A\):

\[A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -1 & -5 & -6 \\ 5 & 25 & 31 \end{bmatrix}, \quad A^3 = \begin{bmatrix} -1 & -5 & -6 \\ 5 & 25 & 31 \\ -25 & -125 & -181 \end{bmatrix}\]

Somando termo a termo:

\[\phi(A) = \begin{bmatrix} 199 & -10 & -6 \\ -4 & 80 & 1 \\ -20 & -100 & 0 \end{bmatrix}\]

Passo 4 — Aplicar a Fórmula de Ackermann

\[K = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \mathcal{C}^{-1} \,\phi(A)\]

O vetor \(\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\) seleciona a última linha:

\[\boxed{K = \begin{bmatrix} 199 & 55 & 8 \end{bmatrix}}\]

Passo 5 — Verificação

A lei de controle \(u = -Kx\) resulta em \(A_{cl} = A - BK\):

\[A_{cl} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & -5 & -6 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 199 & 55 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -200 & -60 & -14 \end{bmatrix}\]

O polinômio característico de \(A_{cl}\):

\[\det(sI - A_{cl}) = s^3 + 14s^2 + 60s + 200 = \phi(s) \checkmark\]

Implementação em MATLAB

% Matrizes do sistema:

A = [0  1  0;
     0  0  1;
    -1 -5 -6];

B = [0; 0; 1];

% Polos desejados:
p = [-2+4j, -2-4j, -10];

% Verificar controlabilidade
Co = ctrb(A, B);
fprintf('Posto de C: %d\n', rank(Co));

% Ganho via Ackermann
K = acker(A, B, p);
fprintf('K = [%.0f  %.0f  %.0f]\n', K(1), K(2), K(3));

% Matriz de malha fechada
Acl = A - B*K;
fprintf('Polos de malha fechada:\n');
disp(eig(Acl))

Limitações e Considerações Práticas

• A fórmula de Ackermann é exata para sistemas SISO — para sistemas MIMO, há outros métodos (e.g., alocação por realimentação de saída).
• Polos muito distantes do eixo imaginário exigem ganhos elevados, podendo amplificar ruído e saturar atuadores.
• O projeto completo inclui também um observador de estados quando os estados não são todos mensuráveis.
• A escolha dos polos desejados deve levar em conta especificações de desempenho: tempo de acomodação, sobressinal, largura de banda.

Resumo

Exercício Proposto

Dado o sistema:

\[A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\]

1. Verifique a controlabilidade.
2. Projete \(K\) pela fórmula de Ackermann para polos em \(s = -4 \pm j2\).
3. Verifique os polos de malha fechada.
4. Simule a resposta ao degrau unitário para \(x_0 = \mathbf{0}\) e \(r(t) = 1\).