Controle por Alocação de Polos: Servosistemas - Com integrador
Sistemas de Controle II
Universidade Federal do Pará
Motivação: Rastreamento de Referência
No projeto por alocação de polos, a lei de controle \(u = -Kx\) regula o sistema — leva os estados à origem.
Problema: e se o objetivo for rastrear uma referência \(r(t) \neq 0\)?
Regulador \[u(t) = -Kx(t)\] - Objetivo: \(x(t) \to 0\) - Referência: \(r(t) = 0\)
Servosistema \[u(t) = -Kx(t) + k_r \, r(t)\] - Objetivo: \(y(t) \to r(t)\) - Referência: \(r(t) \neq 0\)
Questão central
Como projetar \(K\) e \(k_r\) para que \(y(t) \to r(t)\) em regime permanente?
Erro em Regime Permanente
Sistema em malha fechada com pré-compensação \(k_r\):
\[\begin{cases} \dot{x}(t) = (A - BK)x(t) + Bk_r\, r(t) \\ y(t) = Cx(t) \end{cases}\]
Em regime permanente (\(\dot{x} = 0\)):
\[x_{ss} = -(A - BK)^{-1}Bk_r\, r\]
\[y_{ss} = Cx_{ss} = -C(A - BK)^{-1}Bk_r\, r\]
Erro estacionário:
\[e_{ss} = r - y_{ss} = \left[1 + C(A-BK)^{-1}Bk_r\right]r\]
Problema
Para \(e_{ss} = 0\), é necessário ajustar \(k_r\) — mas perturbações e incertezas no modelo podem introduzir erro residual.
Cálculo do Ganho de Pré-compensação \(k_r\)
Para \(e_{ss} = 0\), impõe-se \(y_{ss} = r\):
\[-C(A - BK)^{-1}Bk_r = 1\]
Resolvendo para \(k_r\):
\[\boxed{k_r = -\frac{1}{C(A - BK)^{-1}B}}\]
Limitação
\(k_r\) é calculado com base no modelo nominal — perturbações ou incertezas paramétricas geram erro estacionário residual. A solução robusta é incluir um integrador na malha de controle.
Lei de Controle: Abordagem de Ogata
O primeiro estado \(x_1 = y\) é a saída do sistema. A lei de controle é:
\[u = -\begin{bmatrix} 0 & k_2 & k_3 & \cdots & k_n \end{bmatrix}x + k_1(r - x_1)\]
\[= -Kx + k_1 r\]
onde \(K = \begin{bmatrix} k_1 & k_2 & \cdots & k_n \end{bmatrix}\) e o primeiro ganho \(k_1\) atua no erro \(e = r - x_1\).
Substituindo no modelo em espaço de estados:
\[\dot{x} = (A - BK)x + Bk_1 r\]
Observação
A estrutura é equivalente ao regulador \(u = -Kx\) com pré-compensação \(k_r = k_1\) — porém \(k_1\) é determinado diretamente pelo projeto de alocação de polos, não por cálculo separado.
Servosistema: Diagrama de Blocos
Observação
O ganho de pré-compensação \(k_r\) escala a referência para que a saída em regime permanente seja igual a \(r\).
Sistema em Malha Fechada
Aplicando \(u = -Kx + k_1 r\) ao modelo \(\dot{x} = Ax + Bu\):
\[\dot{x} = (A - BK)x + Bk_1 r\]
Em regime permanente (\(\dot{x} = 0\)):
\[x_{ss} = -(A - BK)^{-1}Bk_1\, r\]
\[y_{ss} = Cx_{ss} = -C(A - BK)^{-1}Bk_1\, r\]
Erro estacionário:
\[e_{ss} = r - y_{ss} = \left[1 + C(A - BK)^{-1}Bk_1\right]r\]
Limitação
\(e_{ss} = 0\) somente se o modelo for exato — perturbações e incertezas paramétricas introduzem erro residual. A solução: incluir um integrador na malha de controle.
Prof. Dr. Raphael Teixeira
raphaelbt@ufpa.br