Objetivos da Apresentação

  • Apresentar o conversor Buck e seu princípio de funcionamento
  • Deduzir o modelo médio em espaço de estados (state-space averaging)
  • Linearizar o modelo médio em torno do ponto de operação (pequenos sinais)
  • Obter as funções de transferência controle-saída e linha-saída
  • Revisar trabalhos de referência sobre projeto de fontes chaveadas com Buck
  • Traçar os próximos passos rumo ao projeto de controle

O Conversor Buck

Princípio de Operação

  • Conversor CC-CC abaixador de tensão: \(V_o \le V_i\)
  • Uma chave \(S\) (MOSFET/IGBT) comutada em alta frequência, com razão cíclica \(d\in(0,1)\)
  • Diodo de roda livre, indutor \(L\) e capacitor \(C\) formam um filtro passa-baixas na saída
  • Carga modelada como resistência \(R\)

Em regime permanente, no modo de condução contínua (MCC): \[V_o = d\,V_i\]

Nota

Este ganho estático é a mesma relação vista em Eletrônica de Potência para o regulador buck; aqui o interesse é o modelo dinâmico, não apenas o ganho CC.

Motivação

  • Presente em praticamente toda fonte de alimentação chaveada moderna
  • Base de projetos didáticos de fontes de bancada para laboratório (Dilger, 2018)
  • Ponto de partida comum para comparar estratégias de controle (PI, PID, MPC, …) (Ricardo, 2025)
  • Modelo simples o bastante para modelagem simbólica completa, mas rico o bastante para ilustrar todo o fluxo modelagem → função de transferência → controle

Modelagem por Valores Médios no Espaço de Estados

Premissas de Modelagem

  • Interruptor ideal (sem perdas de comutação/condução)
  • Modo de condução contínua (corrente no indutor nunca se anula)
  • Estados: corrente no indutor \(i_L(t)\) e tensão no capacitor \(v_C(t)\)
  • Modelo obtido simbolicamente com sympy em ModelagemBuck.ipynb

\[ x = \begin{bmatrix} i_L \\ v_C \end{bmatrix}, \qquad u = V_i \]

Modo 1 — Chave Fechada (\(0 \le t < dT\))

\[ \begin{bmatrix}\dot{i}_L\\ \dot{v}_C\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 & -\dfrac{1}{L}\\[4pt] \dfrac{1}{C} & -\dfrac{1}{CR}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}i_L\\ v_C\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}\dfrac{1}{L}\\ 0\end{bmatrix} V_i \]

A fonte \(V_i\) é conectada ao indutor; a topologia é a mesma de um filtro RLC alimentado.

Modo 2 — Chave Aberta (\(dT \le t < T\))

\[ \begin{bmatrix}\dot{i}_L\\ \dot{v}_C\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 & -\dfrac{1}{L}\\[4pt] \dfrac{1}{C} & -\dfrac{1}{CR}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}i_L\\ v_C\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0\\ 0\end{bmatrix} V_i \]

O diodo de roda livre assume a corrente do indutor; a matriz de estados \(A\) não muda, apenas a entrada é desconectada (\(B_2=0\)).

Modelo Médio (SSA)

Ponderando os dois modos pela razão cíclica \(d\) (fração do período em que a chave está fechada):

\[ A_m = d\,A_1 + (1-d)\,A_2 = A_1 = A_2, \qquad B_m = d\,B_1 + (1-d)\,B_2 = \begin{bmatrix}\dfrac{d}{L}\\ 0\end{bmatrix} \]

\[ \begin{bmatrix}\dot{i}_L\\ \dot{v}_C\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 & -\dfrac{1}{L}\\[4pt] \dfrac{1}{C} & -\dfrac{1}{CR}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}i_L\\ v_C\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}\dfrac{d}{L}\\ 0\end{bmatrix} V_i \]

Como \(A_1=A_2\) neste conversor, toda a dependência em \(d\) fica isolada em \(B_m\) — resultado característico do Buck (não se repete, por exemplo, no Boost).

Função de Transferência Direta \(H_0(s) = V_C(s)/d(s)\)

Com \(C = \begin{bmatrix}0 & 1\end{bmatrix}\) e \(H_0(s) = C(sI-A_m)^{-1}B_m/d\) (tratando \(d\) como entrada direta, \(V_i\) fixo em 1):

\[ \boxed{H_0(s) = \dfrac{R}{LCR\,s^2 + L\,s + R}} \]

Forma canônica de 2ª ordem, com

\[ \omega_n = \frac{1}{\sqrt{LC}}, \qquad \zeta = \frac{1}{2R}\sqrt{\frac{L}{C}} \]

\(H_0(s)\) ainda não é o modelo de pequenos sinais clássico: falta o ganho \(V_i\) (ou \(D\)) da linearização, e falta a entrada de linha \(v_i\). Os dois só aparecem ao perturbar \(d\) e \(v_i\) simultaneamente em torno do ponto de operação.

Modelo de Pequenos Sinais

Perturbação em Torno do Ponto de Operação

Perturba-se simultaneamente entrada de controle, entrada de linha e estados em torno de um ponto de operação CC (letras maiúsculas):

\[ d(t) = D + \widehat{d}(t), \qquad v_i(t) = V_i + \widehat{v}_i(t), \qquad x(t) = X + \widehat{x}(t) \]

com \(\widehat d, \widehat v_i, \widehat x \ll D, V_i, X\) (pequenos sinais). Como \(A_1=A_2=A\), a não linearidade do Buck está inteira no produto \(d(t)\,v_i(t)\) que força o estado:

\[ \dot{x} = A\,x + B_1\,\big[\underbrace{D V_i}_{\text{CC}} + \underbrace{D\widehat v_i + V_i\widehat d}_{\text{CA (1ª ordem)}} + \underbrace{\widehat d\,\widehat v_i}_{\text{2ª ordem (desprezado)}}\big] \]

O termo \(\widehat d\,\widehat v_i\) é o produto de duas pequenas quantidades — desprezá-lo é exatamente a aproximação de “pequenos sinais” (linearização de 1ª ordem).

Ponto de Operação CC

Anulando a parcela CC (\(\dot X = 0\)), \(0 = AX + B_1 D V_i\), resolve-se para o estado de equilíbrio:

\[ X = \begin{bmatrix} I_L \\ V_C \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} D V_i / R \\ D V_i \end{bmatrix} \]

Nota

\(V_C = D V_i\) recupera exatamente o ganho estático \(V_o = dV_i\) já conhecido, e \(I_L = V_C/R\) é a corrente média de carga — confirmação de consistência do modelo.

Modelo Linearizado (CA)

Descartado o termo CC (cancela com \(\dot X=0\)) e o termo de 2ª ordem, resta a dinâmica linear de pequenos sinais:

\[ \boxed{\dot{\widehat{x}} = A\,\widehat{x} + B_1 V_i\,\widehat{d} + B_1 D\,\widehat{v}_i} \]

Duas entradas independentes, \(\widehat d\) e \(\widehat v_i\) — o sistema ganha uma segunda função de transferência que o modelo direto (com \(d\) como entrada única) não tinha.

Duas Funções de Transferência

Por superposição (sistema linear), com \(\widehat y = \widehat v_C = C\widehat x\):

Controle → saída (\(\widehat v_i=0\)) \[ G_{vd}(s) = \dfrac{\widehat v_C(s)}{\widehat d(s)} = V_i\,H_0(s) \]

Linha → saída (\(\widehat d=0\)) \[ G_{vg}(s) = \dfrac{\widehat v_C(s)}{\widehat v_i(s)} = D\,H_0(s) \]

onde \(H_0(s) = \dfrac{R}{LCR\,s^2+Ls+R}\) é a mesma função de transferência “direta” do slide anterior.

\(H_0(s)\) não estava errada — era \(G_{vd}(s)/V_i\) (equivalentemente \(G_{vg}(s)/D\)): o modelo direto já continha a dinâmica correta, só faltava o ganho DC da linearização.

Revisão da Literatura

Trabalhos de Referência

Trabalho Foco Contribuição relevante
Dilger (2018) (Dilger, 2018) Fonte chaveada Buck para laboratório de graduação Projeto físico completo (dimensionamento, driver, malha de controle)
Ricardo (2025) (Ricardo, 2025) Conversor Buck: dimensionamento, controle e otimização de modelos Comparação de modelos e estratégias de controle
Erickson & Maksimovic (Erickson & Maksimovic, 2001) Eletrônica de potência, referência clássica Formalização do método SSA e do modelo de pequenos sinais

TCC de Dilger (2018), UTFPR: consulte o repositório institucional da UTFPR (o PDF não é versionado aqui).

Próximos Passos

Roadmap

  1. Validar o modelo de pequenos sinais contra simulação chaveada (ciclo a ciclo)
  2. Projetar controlador de tensão a partir de \(G_{vd}(s)\) (PI/PID via IMC, e comparar com MPC)
  3. Usar \(G_{vg}(s)\) para avaliar rejeição a distúrbios na tensão de entrada
  4. Avaliar desempenho: erro de regime, overshoot, rejeição a distúrbios de carga
  5. Comparar com as abordagens de projeto de (Dilger, 2018) e (Ricardo, 2025)

Referências

Dilger, E. B. (2018). Desenvolvimento de uma Fonte Chaveada para Uso em Laboratório de Graduação [Trabalho de Conclus{\~a}o de Curso]. Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR).
Erickson, R. W., & Maksimovic, D. (2001). Fundamentals of Power Electronics (2.ª ed.). Springer.
Ricardo, C. E. N. (2025). Conversor CC/CC Abaixador de Tensão – BUCK: Dimensionamento, Controle e Otimização de Modelos [Mathesis]. Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC).