Identificação do Conversor Buck

O conversor e o modelo nominal

Tudo a seguir é simulado em MATLAB (analise/ident_buck.m), com este \(G(s)\) no papel da planta.

Período de amostragem: o que se quer ver

Degrau de \(D\) = 1/3 → 0,4. Com \(T_s\) = 200 µs, cada oscilação tem só 4 ou 5 pontos: os dados quase não mostram a forma do transitório, e o modelo discreto fica mal determinado.

Critérios para \(T_s\)

1. Amostras por oscilação: \(\omega_n T_s \approx 0{,}2\) a \(0{,}6\) (Åström & Wittenmark), ou seja, 10 a 30 amostras por período \(T_d\);
2. Não amostrar rápido demais: com \(T_s\) pequeno, os polos discretos \(z = e^{sT_s}\) ficam colados em 1, e \(y(k)\), \(y(k-1)\), \(y(k-2)\) quase não diferem: mínimos quadrados mal condicionados;
3. Limite da placa: no máximo uma amostra por período do PWM (20 kHz → 50 µs).

Escolha: \(T_s\) = 50 µs

• \(\omega_n T_s\) = 0,36, no meio da faixa; 18 amostras por oscilação;
• Uma amostra por período do PWM, no meio do intervalo de condução (longe das comutações).

Modelo discreto esperado (ZOH), com o atraso de uma amostra do firmware: o novo CMPA só vale no período seguinte, então \(d(k)\) só aparece em \(y(k+2)\):

\[ y(k) = 1{,}768\,y(k-1) - 0{,}887\,y(k-2) + 1{,}821\,d(k-2) + 1{,}750\,d(k-3) \]

Estrutura a identificar: ARX(2,2,2) — 2 polos, 2 coeficientes de entrada, atraso de 2 amostras.

PRBS: o sinal

Sequência binária pseudoaleatória \(q(k) = \pm 1\), gerada por um registrador de deslocamento de \(n\) = 9 bits (\(x^9 + x^5 + 1\)):

• Repete-se a cada \(2^n - 1\) = 511 bits; média quase nula (256 bits +1, 255 bits −1);
• O trecho mais longo sem troca tem \(n\) = 9 bits;
• Espectro aproximadamente plano: excita todas as frequências até um limite.

Aplicada como variação em torno do ponto de operação:

\[ d(k) = A\,q(k), \quad A = 1/30 \qquad\Rightarrow\qquad D \in \{0{,}300;\ 0{,}367\} \]

Em regime, \(V_o\) ficaria entre 9 e 11 V; a ressonância amplia essa faixa nos transitórios.

\(N_b\) e \(T_b\): quanto dura cada bit

Os mesmos bits nos dois casos: com \(N_b\) = 4, cada bit fica 4 amostras no mesmo nível. A duração do bit é \(T_b = N_b\,T_s\); \(T_s\) continua 50 µs.

As grandezas da PRBS

\(T_s\) fixa a resolução no tempo; \(N_b\) escolhe \(T_b\) sem mudar \(T_s\).

Como escolher \(T_b\)

Dois requisitos que puxam em sentidos opostos:

1. Excitar a ressonância: a faixa \(0{,}44/T_b\) deve ir além de \(f_n\), com folga (\(\approx 2 f_n\) = 2,3 kHz): \[T_b \lesssim \frac{0{,}44}{2 f_n} \approx 190\ \text{µs}\]
2. Excitar o ganho estático: o pulso mais longo deve durar uma fração boa da acomodação (\(\approx t_s/2\) = 1,6 ms): \[n\,T_b \gtrsim 1{,}6\ \text{ms} \;\Rightarrow\; T_b \gtrsim 180\ \text{µs}\]

Os dois se encontram em \(T_b \approx\) 200 µs, ou seja, \(N_b\) = 4 com \(T_s\) = 50 µs.

Espectro da PRBS × buck

\(N_b\) = 1 espalha a energia até 9 kHz, onde o buck já atenua: sobra pouco sinal na saída. \(N_b\) = 8 tem um nulo em 2,5 kHz, muito perto da ressonância.

Conferindo pela simulação: varredura de \(N_b\)

100 ensaios simulados por \(N_b\), ruído de medida \(\sigma\) = 20 mV; ajuste na validação (sem ruído):

\(N_b\) = 4 tem o melhor ajuste e o menor erro no amortecimento, como previsto pelos dois requisitos.

Código: PRBS

% PRBS de +-1 com registrador de 9 bits (x^9 + x^5 + 1, periodo 511 bits);
% um bit novo a cada Nb amostras
function q = PRBS(N, Nb)
    reg = ones(1, 9);
    q   = zeros(N, 1);
    for k = 1:N
        if mod(k-1, Nb) == 0                      % so a cada Nb amostras
            reg = [xor(reg(9), reg(5)), reg(1:8)];
        end
        q(k) = 2*reg(9) - 1;
    end
end

Ts = 50e-6;  Gz = c2d(Gs, Ts, 'zoh');
Gzp = Gz * tf(1, [1 0], Ts);                      % atraso do firmware
d = (1/30)*PRBS(2044, 4);                         % Nb = 4: um periodo
y = lsim(Gzp, d) + 0.02*randn(2044, 1);           % ruido de medida de 20 mV

Na placa: PWM_prbs

#define PRBS_NB  4U                     // amostras por bit: Tb = 4 x 50 us = 200 us

static inline float Gerar_Proximo_PRBS_Simulink(void) {
    if (prbs_cont == 0) {               // so a cada PRBS_NB amostras
        uint16_t bit9 = (lfsr >> 8) & 0x0001;
        uint16_t bit5 = (lfsr >> 4) & 0x0001;
        uint16_t feedback = bit9 ^ bit5;
        lfsr = ((lfsr << 1) | feedback) & 0x01FF;          // 9 bits
        prbs_duty = (feedback != 0) ? PRBS_DUTY_HIGH : PRBS_DUTY_LOW;
    }
    prbs_cont++;
    if (prbs_cont >= PRBS_NB) prbs_cont = 0;
    return prbs_duty;
}

• Chamada a cada \(T_s\) = 50 µs (disparo do ADC no zero do ePWM1);
• TAM_EXP = 2044 amostras: um período completo da sequência.

Ensaio simulado

A ressonância amplifica a resposta aos bits curtos: \(V_o\) oscila entre 7 e 13 V, ainda longe dos 30 V da entrada.

ARX por mínimos quadrados

Com \(d\) e \(y\) = variações em torno do ponto de operação (na prática, tira-se a média dos dados):

\[ y(k) = -a_1\,y(k-1) - a_2\,y(k-2) + b_1\,d(k-2) + b_2\,d(k-3) \]

function [b, a] = ARX(d, y)
    d = d - mean(d);  y = y - mean(y);
    k = (4:numel(y))';
    Phi   = [-y(k-1), -y(k-2), d(k-2), d(k-3)];
    theta = Phi \ y(k);                           % minimos quadrados
    a = [1, theta(1:2)'];
    b = theta(3:4)';
end

Modelo identificado (\(N_b\) = 4)

Todos os coeficientes a menos de 2 % dos valores do modelo nominal discretizado.

Modelo contínuo equivalente

Conversão do ARX para tempo contínuo (d2c, sem o atraso do firmware):

\[ G_{id}(s) = \frac{1{,}553\cdot 10^{9}}{s^2 + 2552\,s + 5{,}136\cdot 10^{7}} \]

O amortecimento é o parâmetro mais sensível ao ruído de medida.

Validação: outro trecho da PRBS

Mesma PRBS com outro estado inicial do registrador (dados não usados na identificação): simulação livre do modelo ARX contra o sistema conhecido \(G(s)\), ajuste de 96,5 %.

Validação: onda quadrada 10 ↔︎ 12 V

Entrada do BK01Degrau (\(D\) = 1/3 ↔︎ 0,4): ajuste de 98,5 %; o módulo da resposta em frequência coincide com o do sistema conhecido, inclusive na ressonância.

Ruído de medida

• Estimativa para a placa: resolução do ADC com o divisor ≈ 7 mV, mais a ondulação residual e a interferência do chaveamento → 20 mV;
• O ARX supõe o ruído na equação, não na medida: com ruído de medida, os mínimos quadrados são polarizados, e o erro cresce rápido com \(\sigma\) (com 50 mV, \(\xi\) sai 36 % maior).

Conclusões

• \(T_s\) = 50 µs (\(= 1/f_{PWM}\)): 18 amostras por oscilação, \(\omega_n T_s\) = 0,36;
• \(N_b\) = 4 (\(T_b\) = 200 µs): faixa excitada ≈ 2 \(f_n\) e pulso mais longo ≈ \(t_s/2\); confirmado pela varredura;
• 2044 amostras = um período da PRBS de 9 bits (\(511 \times 4\));
• Estrutura ARX(2,2,2): o atraso do PWM acrescenta uma amostra ao modelo ZOH;
• Medir o ruído real na placa (trecho em \(D_0\) constante): acima de ≈ 30 mV, vale filtrar, usar a média de vários períodos ou um modelo de erro de saída (OE).