DeePC

O que é DeePC?

Data-Enabled Predictive Control: controle preditivo formulado direto sobre uma trajetória de dados, sem identificar um modelo de estado da planta.

Motivação

• Identificar um modelo é uma etapa separada, com custo e erro próprios;
• O DeePC substitui o modelo por uma trajetória de dados persistentemente excitante, coletada uma única vez;
• Identificação e controle viram uma única otimização.

Excitação Persistente

Seja \(w_d=(u_d,y_d)\) uma trajetória de comprimento \(T\) de um sistema LTI controlável de ordem \(n\). Sua matriz de Hankel de profundidade \(L\):

\[ H_L(w_d) = \begin{bmatrix} w_d(1) & \cdots & w_d(T-L+1) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ w_d(L) & \cdots & w_d(T) \end{bmatrix} \]

Lema Fundamental de Willems

A matriz de Hankel dos dados é um modelo implícito do sistema — a ponte entre a abordagem comportamental e o controle baseado em dados (Markovsky et al. 2023).

Formulação do DeePC

Particiona-se \(H_L(u_d), H_L(y_d)\) em blocos “passado” (\(T_{\text{ini}}\) linhas) e “futuro” (\(N\) linhas), \(L=T_{\text{ini}}+N\):

\[ \min_{g,\, u,\, y} \; \sum_{k=1}^{N} \|y_k - r_k\|_Q^2 + \|u_k\|_R^2 \quad \text{s.a.} \quad \begin{bmatrix} U_p \\ Y_p \\ U_f \\ Y_f \end{bmatrix} g = \begin{bmatrix} u_{\text{ini}} \\ y_{\text{ini}} \\ u \\ y \end{bmatrix} \]

\(U_p,Y_p\) fixam \(g\) ao passado recente (estimam o estado); \(U_f,Y_f\) predizem: \(y=Y_fg\), \(u=U_fg\) (Coulson et al. 2019a).

Horizonte Deslizante

1. Atualiza-se \((u_{\text{ini}}, y_{\text{ini}})\) com as últimas medições;
2. Resolve-se a otimização, obtendo \(u^\ast_{1:N}\);
3. Aplica-se só \(u^\ast_1\) e repete-se.

Python — Dados

Sistema de 1ª ordem \(y_{k+1}=ay_k+bu_k\), usado só para gerar dados (o DeePC nunca vê \(a,b\)):

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(0)
a, b = 0.8, 0.5

def simulate(u, y0=0.0):
    y = [y0]
    for uk in u: y.append(a*y[-1] + b*uk)
    return np.array(y[1:])

u_d = rng.choice([-1.0, 1.0], size=200)  # PRBS
y_d = simulate(u_d)

Python — Resolver e Predizer

Nova condição inicial e um degrau futuro — a partir daqui, a, b não são usados:

u_ini = rng.choice([-1.0, 1.0], size=Tini)
y_ini = simulate(u_ini)
u_fut = np.ones(N)

A = np.vstack([Up, Yp, Uf])
r = np.concatenate([u_ini, y_ini, u_fut])
g, *_ = np.linalg.lstsq(A, r, rcond=None)
y_pred = Yf @ g
y_true = simulate(u_fut, y0=y_ini[-1])

Python — Resultado

import matplotlib.pyplot as plt
fig, ax = plt.subplots()
_ = ax.plot(y_true, "o-", label="planta real")
_ = ax.plot(y_pred, "x--", label="predição DeePC")
_ = ax.legend()
plt.tight_layout(); plt.show()

Interpretação

Regularização

Com ruído, \(g\) fica mal-condicionado. Solução: penalidades (Coulson et al. 2019b)

\[ \min_{g,\, u,\, y} \; \sum_{k=1}^{N} \|y_k - r_k\|_Q^2 + \|u_k\|_R^2 \;+\; \lambda_g \|g\|_2^2 \;+\; \lambda_y \|\sigma_y\|_1 \]

• \(\lambda_g\|g\|_2^2\): regulariza \(g\) (Tikhonov);
• \(\sigma_y\): absorve ruído em \((u_{\text{ini}},y_{\text{ini}})\);
• Validado em conversores de potência (Huang, Zhen, et al. 2021).

Garantias Teóricas

• Estabilidade e robustez com dados ruidosos (Berberich et al. 2021);
• Otimalidade equivalente ao MPC baseado em modelo, sem ruído (Dörfler et al. 2023);
• Relação formal com controle preditivo por subespaços (Fiedler e Lucia 2021).

DeePC vs. MPC Clássico

Aplicações

• Conversores conectados à rede (Huang et al. 2019);
• Amortecimento descentralizado de oscilações (Huang, Coulson, et al. 2021);
• Extensões não lineares via redes neurais (Lazar 2024).