Koopman
Controle Baseado em Dados
Universidade Federal do Pará
O que é o Operador de Koopman?
Um sistema não linear \(x_{k+1}=f(x_k)\) pode ser representado exatamente por um operador linear \(\mathcal{K}\), agindo sobre observáveis \(\phi(x)\) — ao custo de dimensão infinita (Koopman 1931).
Motivação
- Controle linear (LQR, MPC linear) é maduro e barato de resolver;
- Controle não linear exige ferramentas mais caras;
- Ideia de Koopman: em vez de linearizar localmente (jacobiano), buscar coordenadas \(\phi(x)\) em que a dinâmica seja linear globalmente.
Definição do Operador
\(\mathcal{K}\) age sobre observáveis \(\phi:\mathcal{X}\to\mathbb{R}\) por \[(\mathcal{K}\phi)(x) = \phi(f(x))\] “Compor com \(f\)” é linear em \(\phi\), mesmo com \(f\) não linear.
O preço: \(\mathcal{K}\) atua num espaço de funções, de dimensão infinita, não sobre \(\mathcal{X}\) diretamente.
Autofunções e Modos de Koopman
Se \(\mathcal{K}\varphi=\lambda\varphi\), então \(\varphi(x_{k+1})=\lambda\,\varphi(x_k)\) ao longo de qualquer trajetória — a autofunção evolui linearmente.
Expandindo \(x=\sum_i \varphi_i(x)\,v_i\) (os \(v_i\) são os modos de Koopman):
\[ x_k = \sum_i \lambda_i^k\, \varphi_i(x_0)\, v_i \]
Solução explícita, análoga a \(\dot x=Ax\), mas para o sistema não linear (Mezić 2005).
Da Teoria à Prática: DMD e EDMD
DMD (Schmid 2010): usa \(\phi(x)=x\), ajusta \(A\) tal que \(x_{k+1}\approx Ax_k\). Só funciona se a dinâmica já for quase linear.
EDMD (Williams, Kevrekidis, et al. 2015): enriquece com uma biblioteca \(\phi_1,\dots,\phi_n\) (monômios, RBFs, …) e ajusta \(K\) por mínimos quadrados:
\[ K = \arg\min_{K} \sum_{k} \| \phi(x_{k+1}) - K\, \phi(x_k) \|_2^2 \]
Da Identificação ao Controle
Com o preditor linear \(z_{k+1}=Kz_k+Bu_k\) (\(z=\phi(x)\)), técnicas lineares se aplicam a uma planta não linear:
- LQR e MPC linear com restrições, em vez de MPC não linear (Korda e Mezić 2018);
- Variante com kernels, para bibliotecas de dimensão muito alta (Williams, Rowley, et al. 2015).
Importante
A escolha da biblioteca de observáveis determina a qualidade do controlador — não há receita universal (Brunton et al. 2022).