SINDy
Controle Baseado em Dados
Universidade Federal do Pará
O que é SINDy?
Sparse Identification of Nonlinear Dynamics: descobre as equações diferenciais de um sistema, assumindo que poucos termos de uma biblioteca de candidatos bastam para descrever a dinâmica (Brunton et al. 2016; Schmidt e Lipson 2009).
Formulação
Do estado medido \(X\) e sua derivada \(\dot X\), constrói-se uma biblioteca de candidatos e resolve-se uma regressão esparsa:
\[ \Theta(X) = \begin{bmatrix} 1 & X & X^2 & \sin(X) & \cdots \end{bmatrix} \qquad \dot X = \Theta(X)\,\Xi, \quad \Xi \text{ esparsa} \]
Coeficiente \(\Xi_{j,i}\ne 0\): o \(j\)-ésimo candidato participa da equação de \(\dot x_i\).
O Algoritmo STLSQ
- Ajusta-se \(\Xi\) por mínimos quadrados: \(\Xi \leftarrow \Theta^\dagger \dot X\);
- Zeram-se coeficientes com \(|\Xi_{j,i}| < \tau\);
- Reajustam-se só os sobreviventes; repete-se até convergir.
Nota
\(\tau\) equilibra esparsidade e ajuste aos dados.
Por que Esparsidade?
A maioria dos sistemas físicos é descrita por poucos termos — a esparsidade evita sobreajuste e dá um modelo interpretável.
Sensível a ruído em \(\dot X\): normalmente exige filtragem ou diferenciação robusta.
Extensões
- SINDYc: inclui controle \(u\) na biblioteca, útil em MPC (Kaiser et al. 2018);
- PDE-FIND: descobre equações diferenciais parciais (Rudy et al. 2017);
- Coordenadas latentes: autoencoder + SINDy no espaço latente (Champion et al. 2019).
Robustez a Ruído
- SR3: relaxa o corte abrupto do limiar, mais estável (Zheng et al. 2019);
- Ensemble-SINDy: agrega modelos de subamostras bootstrap, robusto a ruído alto (Fasel et al. 2022).
Software e Aplicação a Controle
PySINDy implementa STLSQ, SR3, SINDYc e bibliotecas prontas (Silva et al. 2020; Kaptanoglu et al. 2022) — aqui usamos só numpy para deixar o algoritmo explícito.
O modelo esparso \(\dot x=\Theta(x)\Xi\) vira planta para MPC não linear ou linearização por realimentação (Kaiser et al. 2018).