Matrizes Simétricas e Complexas

Álgebra Linear

Prof. Dr. Raphael Teixeira

Universidade Federal do Pará

Autovalores de Matrizes Simétricas são Reais

Teorema: Se \(S\) é uma matriz real e simétrica, então todos os seus autovalores são reais.

Demonstração

Seja \(\lambda\) um autovalor de \(S\) e \(\mathbf{v}\) um autovetor associado: \[S\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}, \quad \mathbf{v} \neq \mathbf{0}\]

Passo 1: Multiplique ambos os lados pelo conjugado transposto de \(\mathbf{v}\): \[\overline{\mathbf{v}}^T S\mathbf{v} = \lambda \overline{\mathbf{v}}^T \mathbf{v}\]

Passo 2: Como \(S\) é real e simétrica: \(S = \overline{S}\) e \(S^T = S\) \[\overline{\mathbf{v}}^T S\mathbf{v} = \overline{(S\mathbf{v})^T \mathbf{v}} = \overline{(\lambda \mathbf{v})^T \mathbf{v}} = \overline{\lambda} \overline{\mathbf{v}}^T \mathbf{v}\]

Passo 3: Comparando as duas expressões: \[\lambda \overline{\mathbf{v}}^T \mathbf{v} = \overline{\lambda} \overline{\mathbf{v}}^T \mathbf{v}\]

Passo 4: Como \(\mathbf{v} \neq \mathbf{0}\), temos \(\overline{\mathbf{v}}^T \mathbf{v} > 0\): \[\lambda = \overline{\lambda}\]

Portanto, \(\lambda\) é real.